Questão 148 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão, Proporção e Escalas Cartográficas
• ⚡ Nível: Fácil — envolve apenas duas operações de proporcionalidade direta e inversa aplicadas a um conceito único (escala)
• 🎯 Tema/Habilidade: Escala cartográfica e razão de proporcionalidade (Competência de Área 2 do ENEM: utilizar conhecimentos geométricos de grandezas e medidas para representação de dados)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dada a distância entre duas cidades em um mapa na escala 1:30 000, calcule quanto essa mesma distância real ocupará em um novo mapa na escala 1:20 000."
• Palavras-chave decisivas: escala 1:30 000, 5 cm, escala 1:20 000
• Armadilha típica: aplicar a nova escala diretamente sobre os 5 cm do mapa antigo (multiplicando 5 por 20 000), sem primeiro recuperar a distância real entre as cidades — isso gera respostas erradas como 100 000 cm.
• O que a resposta precisa demonstrar: compreensão de que a escala é uma razão entre distância no mapa e distância real, e que o caminho correto passa obrigatoriamente por calcular a distância real antes de aplicá-la à nova escala.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Escala cartográfica: é a razão constante entre uma medida no mapa (desenho) e a medida real correspondente no terreno, escrita na forma 1 : k, em que 1 representa a unidade no mapa e k a mesma unidade na realidade.
• Relação de proporcionalidade: para uma escala 1 : k, vale distância real = distância no mapa × k. Essa é uma proporção direta entre o desenho e a realidade.
• Invariância da distância real: a distância física entre as cidades A e B no terreno não muda quando se troca de mapa — o que muda é apenas a forma como essa distância é representada no papel. É esse valor real que serve de "ponte" entre os dois mapas.
• Relação inversa entre escala e representação: quanto maior o denominador k da escala (mapa mais "reduzido"), menor é a distância representada no papel para uma mesma distância real — por isso 1:20 000 (escala maior que 1:30 000) produz um desenho maior.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "escala é 1 : 30 000, as cidades A e B distam entre si, em linha reta, 5 cm" → fornece os dois dados necessários para calcular a distância real entre A e B: 1 cm no mapa equivale a 30 000 cm no terreno, e a distância desenhada é 5 cm.
• Evidência 2: "Um novo mapa... será construído na escala 1 : 20 000" → pede a conversão da mesma distância real para uma nova razão de escala, exigindo que o valor real (constante) seja recalculado no novo padrão.
• Síntese: o problema tem duas etapas obrigatórias e sequenciais — primeiro "desconverter" a escala antiga para achar a distância real fixa entre A e B, depois "reconverter" esse valor real usando a nova escala para achar a nova distância no papel.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Encontrar a distância real entre as cidades A e B

Na escala 1 : 30 000, cada 1 cm do mapa corresponde a 30 000 cm reais. Como a distância no mapa antigo é 5 cm, a distância real é:

distância real = distância no mapa × k

distância real = 5 cm × 30 000

distância real = 150 000 cm

Convertendo para facilitar a interpretação (não obrigatório para o cálculo, mas útil para conferência):

150 000 cm = 1 500 m = 1,5 km

Ou seja, as cidades A e B estão de fato a 1,5 km uma da outra em linha reta — e esse valor não muda, independentemente de qual mapa for usado para representá-lo.

Subpasso 4.2 — Aplicar a distância real à nova escala 1 : 20 000

Agora a mesma distância real de 150 000 cm precisa ser representada no novo mapa, cuja escala é 1 : 20 000. Isso significa que cada 20 000 cm reais correspondem a 1 cm no novo mapa. Logo:

distância no novo mapa = distância real ÷ k'

distância no novo mapa = 150 000 ÷ 20 000

distância no novo mapa = 7,5 cm

Subpasso 4.3 — Verificação

Faz sentido pela lógica das escalas: 1 : 20 000 é uma escala "maior" (menos redução) do que 1 : 30 000, então o mesmo território real deve aparecer maior no papel. De fato, 7,5 cm > 5 cm, confirmando a coerência do resultado. Comparando com as alternativas, 7,5 cm corresponde exatamente à alternativa E, o que fecha o ciclo de verificação: a distância real (150 000 cm) foi preservada corretamente entre as duas conversões de escala.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,50.

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro de escala, como calcular 5 cm × (20 000/30 000×... ) de forma invertida ou usar fatores de conversão trocados (por exemplo, dividir 5 por 30 000 e depois manipular incorretamente as casas decimais). É um valor menor que os 5 cm originais, o que já contraria a lógica de que uma escala menos reduzida (1:20 000) deve gerar um desenho maior, não menor.

B) 3,33.

❌ Incorreta: esse resultado aparece quando se inverte a razão das escalas, calculando 5 × (20 000/30 000) = 3,33 em vez de 5 × (30 000/20 000). Esse erro conceitual troca o sentido da proporcionalidade: ao passar para uma escala com denominador menor (mapa "mais próximo" da realidade), a distância desenhada deve aumentar, não diminuir.

C) 3,50.

❌ Incorreta: valor sem fundamento matemático coerente com os dados — não corresponde a nenhuma operação correta ou a um erro comum sistemático a partir de 5 cm, 30 000 e 20 000; funciona como distrator "quase razoável" para quem calcula qualquer conta às pressas sem confirmar a direção da proporção.

D) 6,50.

❌ Incorreta: está próxima do valor correto, mas não coincide com o resultado exato da proporção 150 000 ÷ 20 000. Pode surgir de arredondamentos indevidos ou de um cálculo intermediário equivocado (por exemplo, usar um fator de conversão aproximado em vez do valor exato 30 000/20 000 = 1,5). Serve para testar se o estudante realmente executa a divisão exata em vez de estimar.

E) 7,50.

✅ Correta: é o resultado exato de 5 cm × 30 000 ÷ 20 000 = 150 000 ÷ 20 000 = 7,5 cm, obtido ao calcular corretamente a distância real fixa entre as cidades (150 000 cm) e reconvertê-la para a nova escala.

🏆 Gabarito: E — a distância real entre A e B (150 000 cm) é constante; dividindo-a pela nova escala 1:20 000, obtém-se 7,5 cm, o único valor coerente com as duas conversões de escala.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra E é a única alternativa compatível com a sequência correta de cálculos — primeiro recuperar a distância real fixa (150 000 cm) e só depois aplicá-la à nova escala, resultando em 7,5 cm.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra escalas cartográficas quase sempre em duas etapas — converter do mapa para a realidade e, em seguida, da realidade para um novo mapa (ou vice-versa) — testando se o estudante entende a distância real como o elo invariável entre as representações.
• Generalização: para qualquer problema de troca de escala, a estratégia infalível é: (1) calcular a distância real usando a escala original; (2) usar essa distância real, que não muda, para calcular a nova distância representada na escala nova, dividindo pelo novo denominador.
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular, avalie a direção da mudança — como a nova escala (1:20 000) é "maior" que a antiga (1:30 000), o novo desenho tem de ser maior que 5 cm. Isso elimina de cara as alternativas A, B e C, sobrando apenas D e E para conferência exata.
• Conexões: o mesmo raciocínio de proporcionalidade direta e inversa aparece em problemas de mapas e maquetes (razão de semelhança) e em conversão de unidades de medida em Física e Geografia, como densidade demográfica calculada a partir de escalas de mapas.