Questão 176 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria espacial: relação de Euler e contagem de arestas em poliedros
• ⚡ Nível: Médio — a álgebra é simples, mas depende de deduzir a relação 3F = 2A para faces triangulares.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relação de Euler (V − A + F = 2); relacionar elementos de um poliedro por contagem dupla.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Num poliedro de Platão com todas as faces triangulares, qual equação liga o número de vértices V ao número de faces F?"
• Palavras-chave decisivas: faces triangulares, cada aresta é compartilhada por apenas duas faces, V − A + F = 2.
• Armadilha típica: escrever A = 3F (três arestas por face) e esquecer que cada aresta é contada duas vezes — uma por cada face vizinha. O correto é 3F = 2A, ou seja, A = 3F/2.
• O que a resposta precisa demonstrar: que você faz a contagem dupla das arestas corretamente e elimina A da relação de Euler.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Relação de Euler: para todo poliedro convexo, V − A + F = 2.
• Contagem dupla das arestas: se todas as F faces são triângulos, cada uma tem 3 lados → contamos 3F lados. Mas cada aresta pertence a exatamente 2 faces (o próprio enunciado diz isso), logo cada aresta foi contada duas vezes. Portanto: 3F = 2A ⇒ A = 3F/2.
• Poliedros de Platão de faces triangulares: tetraedro (V = 4, A = 6, F = 4), octaedro (V = 6, A = 12, F = 8) e icosaedro (V = 12, A = 30, F = 20). Servem de teste para qualquer fórmula candidata.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada aresta é compartilhada por apenas duas faces" → é a licença explícita para escrever 3F = 2A. O enunciado entrega o ingrediente que muita gente esquece.
• Evidência 2: "um poliedro de Platão de faces triangulares" → cada face tem exatamente 3 lados, o que fixa o "3" da relação 3F = 2A.
• Evidência 3: "respeitam a relação de Euler V − A + F = 2" → a equação onde vamos substituir A.
• Síntese: isolar A em função de F e substituir em Euler para obter uma relação só entre V e F.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Relacionar arestas e faces

Cada face é um triângulo → 3 lados por face → total de lados contados = 3F.

Cada aresta é compartilhada por 2 faces → cada aresta apareceu 2 vezes nessa contagem.

3F = 2A ⇒ A = 3F ÷ 2

Subpasso 4.2 — Substituir na relação de Euler

V − A + F = 2

V − (3F/2) + F = 2

V − 3F/2 + 2F/2 = 2

V − F/2 = 2

Subpasso 4.3 — Multiplicar por 2 para eliminar a fração

2 × (V − F/2) = 2 × 2

2V − F = 4

Subpasso 4.4 — Verificação com os três sólidos de faces triangulares

• Tetraedro: V = 4, F = 4 → 2(4) − 4 = 8 − 4 = 4 ✔
• Octaedro: V = 6, F = 8 → 2(6) − 8 = 12 − 8 = 4 ✔
• Icosaedro: V = 12, F = 20 → 2(12) − 20 = 24 − 20 = 4 ✔

A relação 2V − F = 4 vale para os três — e é a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2V − 4F = 4

❌ Incorreta: equivale a V − 2F = 2, que é o que se obtém usando A = 3F — ou seja, esquecendo que cada aresta é compartilhada por duas faces e contando cada uma duas vezes. Testando no tetraedro (V = 4, F = 4): 2(4) − 4(4) = 8 − 16 = −8 ≠ 4.

B) 2V − 2F = 4

❌ Incorreta: equivale a V − F = 2, resultado de supor A = 2F (duas arestas por face) — o que trocaria a relação correta 3F = 2A. Testando no octaedro (V = 6, F = 8): 2(6) − 2(8) = 12 − 16 = −4 ≠ 4.

C) 2V − F = 4

✅ Correta: de 3F = 2A vem A = 3F/2; substituindo em V − A + F = 2: V − 3F/2 + F = 2 → V − F/2 = 2 → 2V − F = 4. Confirmada no tetraedro, no octaedro e no icosaedro.

D) 2V + F = 4

❌ Incorreta: o sinal do F está trocado. Isso corresponderia a somar as arestas em vez de subtraí-las na relação de Euler (V + A + F). Testando no tetraedro: 2(4) + 4 = 8 + 4 = 12 ≠ 4.

E) 2V + 5F = 4

❌ Incorreta: é impossível para qualquer poliedro. Como V ≥ 4 e F ≥ 4, temos 2V + 5F ≥ 8 + 20 = 28, sempre muito maior que 4. Uma soma de termos positivos nunca poderia produzir um valor tão pequeno.

🏆 Gabarito: C — com faces triangulares, A = 3F/2; levando isso a V − A + F = 2, chega-se a V − F/2 = 2, ou seja, 2V − F = 4.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única expressão que dá 4 para o tetraedro, o octaedro e o icosaedro (os três poliedros de Platão de faces triangulares) é 2V − F = 4.
• Padrão de cobrança: a relação de Euler cai combinada com uma contagem dupla — de arestas por face (n·F = 2A) ou de arestas por vértice (m·V = 2A). O ENEM testa justamente se você lembra do fator 2.
• Generalização: para um poliedro cujas faces são todas polígonos de n lados: n·F = 2A. Se todos os vértices têm m arestas incidentes: m·V = 2A. Combine qualquer uma delas com V − A + F = 2 e o problema se resolve.
• Dica de eliminação rápida: teste com o tetraedro (V = 4, A = 6, F = 4) — é o menor poliedro de faces triangulares e cabe na cabeça. Só a alternativa que devolver 4 sobrevive; as outras quatro caem em segundos.
• Conexões: poliedros regulares, planificações, e a versão "faces quadradas" (4F = 2A, como no cubo) ou "faces pentagonais" (5F = 2A, como no dodecaedro).