Questão 166 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área de paralelogramo e de retângulo) + Trigonometria no triângulo retângulo
• ⚡ Nível: Difícil — exige calcular a área de um paralelogramo pelo produto dos lados vezes o seno do ângulo entre eles e, em seguida, auditar cinco argumentos diferentes (diagonal, perímetro, lados, área mínima, custo/m²) para achar o único correto
• 🎯 Tema/Habilidade: Área de figuras planas via decomposição trigonométrica, aplicada à leitura crítica de argumentos em um contexto de decisão de compra (Matemática e suas Tecnologias — resolver situação-problema envolvendo grandezas geométricas)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule de fato a área de cada lote e verifique qual dos cinco personagens (pai, mãe, filho 1, filho 2, corretor) apresentou um raciocínio matematicamente correto."
• Palavras-chave decisivas: paralelogramo, pelo menos 400 m², mesmo perímetro/lados, custo por metro quadrado
• Armadilha típica: confiar na aparência da figura (o Lote 1 "parece" do mesmo tamanho do Lote 2, tem os mesmos lados 30 m e 15 m, quase o mesmo perímetro e até uma diagonal maior) e concluir que as áreas são iguais ou que o Lote 1 é maior — sem nunca calcular a área de verdade.
• O que a resposta precisa demonstrar: o valor numérico da área de cada lote, comparado com a exigência de 400 m², além da checagem isolada de cada premissa (diagonal, perímetro, lados, custo/m²) usada pelos personagens.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do paralelogramo por dois lados e o ângulo entre eles: A = a · b · sen(θ), onde a e b são lados adjacentes e θ é o ângulo formado entre eles. É a ferramenta central da questão, pois o Lote 1 não fornece a altura diretamente.
• Trigonometria no triângulo retângulo: ao "baixar" uma altura dentro do paralelogramo, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao lado inclinado (15 m) e ângulo de 60°; daí sen(60°) = altura/15 m.
• Área do retângulo: A = base × altura, caso particular da fórmula do paralelogramo quando θ = 90° (sen 90° = 1).
• Perímetro: soma de todos os lados — não carrega nenhuma informação sobre área, especialmente quando a forma muda de retângulo para paralelogramo.
• Diagonal via Lei dos Cossenos: d² = a² + b² − 2ab·cos(θ), usada para comparar comprimentos de diagonais sem qualquer relação direta com a área.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "irão necessitar de uma área de pelo menos 400 m²" → esse é o único critério técnico de viabilidade do projeto: a área real de cada lote precisa ser comparada a 400 m².
• Evidência 2 (da figura): o Lote 1 é um paralelogramo com lado superior de 30 m, lado inclinado de 15 m e ângulo de 60° no vértice inferior esquerdo → não é um retângulo, então sua área não é simplesmente 30 × 15.
• Evidência 3 (da figura): o Lote 2 é um retângulo de 30 m por 15 m, com os ângulos retos marcados nos vértices → sua área é diretamente 30 × 15 = 450 m².
• Síntese: a questão monta uma armadilha visual: os dois lotes têm os mesmos lados (30 m e 15 m) e o mesmo perímetro, mas o ângulo de 60° do Lote 1 "achata" a figura e reduz sua altura efetiva, diminuindo a área real — e é exatamente esse detalhe que decide o problema.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área do Lote 2 (retângulo)

Como o Lote 2 tem ângulos retos, a área é o produto direto dos lados:

Área(Lote 2) = 30 × 15 = 450 m²

Subpasso 4.2 — Área do Lote 1 (paralelogramo)

O lado inclinado (15 m) forma um ângulo de 60° com a base (30 m). Traçando a altura do paralelogramo a partir do vértice superior, obtém-se um triângulo retângulo em que:

sen(60°) = altura / 15 m

altura = 15 × sen(60°) = 15 × (√3/2) ≈ 15 × 1,7 / 2 = 12,75 m

Agora aplica-se a área do paralelogramo (base × altura):

Área(Lote 1) = 30 × 12,75 = 382,5 m²

(Equivalente a aplicar direto A = a·b·sen θ = 30 × 15 × (√3/2) = 225√3 ≈ 225 × 1,7 = 382,5 m².)

Subpasso 4.3 — Verificação cruzada de todas as premissas em jogo

• Área mínima exigida (400 m²): Lote 1 = 382,5 m² < 400 m² (insuficiente) / Lote 2 = 450 m² ≥ 400 m² (suficiente).
• Perímetro: Lote 1 = 2(30+15) = 90 m / Lote 2 = 2(30+15) = 90 m → são iguais, mas as áreas (382,5 m² ≠ 450 m²) não são — prova de que perímetro igual não garante área igual.
• Diagonais (Lei dos Cossenos, com cos 60° = 1/2 e cos 120° = −1/2): no Lote 1, d₁² = 30²+15²−2·30·15·(1/2) = 675 → d₁ = 15√3 ≈ 25,5 m; d₂² = 30²+15²−2·30·15·(−1/2) = 1575 → d₂ = 15√7 ≈ 39,7 m. No Lote 2 (Pitágoras), d² = 30²+15² = 1125 → d ≈ 33,5 m. Ou seja, uma diagonal do Lote 1 (≈39,7 m) é mesmo maior que a do Lote 2 (≈33,5 m) — mas isso não impede a área do Lote 1 de ser menor.
• Custo por m²: Lote 1 = R$ 100.000 / 382,5 m² ≈ R$ 261,44/m²; Lote 2 = R$ 150.000 / 450 m² ≈ R$ 333,33/m² → o Lote 1 tem o menor custo por m², e não o Lote 2.

Com todos os números na mesa, apenas uma conclusão resiste à checagem: o Lote 1 não serve para o projeto porque sua área é insuficiente, e o Lote 2 é a única opção viável.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) pai.

❌ Incorreta: o Pai até acerta o dado bruto (uma diagonal do Lote 1, ≈39,7 m, realmente supera a diagonal do Lote 2, ≈33,5 m), mas erra a inferência lógica: comprimento de diagonal não determina área. A prova está nos números — o Lote 1 tem área MENOR (382,5 m²) que o Lote 2 (450 m²), o oposto do que ele concluiu.

B) mãe.

❌ Incorreta: é verdade que os perímetros são idênticos (90 m cada), mas perímetro igual não implica área igual — essa é a confusão central da fala da mãe. O ângulo de 60° do Lote 1 reduz sua altura efetiva em relação ao retângulo, fazendo a área cair para 382,5 m², mesmo com o mesmo contorno total de 90 m.

C) filho 1.

✅ Correta: o cálculo mostra que o Lote 1 tem 382,5 m², abaixo do mínimo de 400 m² exigido pela família, enquanto o Lote 2 tem 450 m², que atende à exigência. Logo, o Lote 2 é de fato o único lote com área suficiente para executar o projeto da casa — exatamente o que o Filho 1 argumentou.

D) filho 2.

❌ Incorreta: os lados realmente medem 30 m e 15 m nos dois lotes, mas lados de mesma medida não garantem mesma área quando o ângulo entre eles muda — no Lote 1 o ângulo é 60°, no Lote 2 é 90°. Esse ângulo menor "deita" o paralelogramo e reduz sua altura útil, tornando a área menor. Além disso, mesmo sendo mais barato, o Lote 1 não atinge a área mínima necessária, o que inviabiliza o projeto por completo.

E) corretor.

❌ Incorreta: o cálculo mostra o oposto do que o corretor afirma — o custo por m² do Lote 1 (≈R$ 261,44/m²) é MENOR que o do Lote 2 (≈R$ 333,33/m²). A alegação de que o Lote 2 tem o menor custo por metro quadrado é numericamente falsa, ainda que, por outro motivo (a área mínima), o Lote 2 acabe sendo a compra correta.

🏆 Gabarito: C — o Filho 1 é o único que baseia sua conclusão no critério realmente decisivo (a área mínima de 400 m²), e o cálculo confirma que só o Lote 2 (450 m²) atende a essa exigência, contra os 382,5 m² insuficientes do Lote 1.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre os cinco argumentos, apenas o do Filho 1 usa o critério certo (área ≥ 400 m²) e chega ao número certo (382,5 m² × 450 m²); todos os outros se apoiam em grandezas que não determinam área (diagonal, perímetro, lado isolado) ou erram a conta do custo por m².
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente área de paralelogramos, losangos e trapézios por meio da decomposição em triângulos retângulos com ângulos notáveis (30°, 45°, 60°), sempre testando se o estudante confunde lado, perímetro ou diagonal com área.
• Generalização: sempre que dois polígonos parecerem do "mesmo tamanho" — mesmos lados, mesmo perímetro, diagonais parecidas — calcule a área de verdade antes de comparar; ângulos diferentes entre lados iguais produzem áreas diferentes, pois A = a·b·sen(θ) varia com θ.
• Dica de eliminação rápida: descarte de imediato qualquer alternativa que compare área usando só "diagonal maior" ou "mesmo perímetro" ou "lados iguais" sem apresentar o cálculo da área — são pegadinhas recorrentes de leitura apressada.
• Conexões: Lei dos Cossenos para diagonais de paralelogramos; razão custo-benefício (preço por metro quadrado) em problemas de compra de terrenos e imóveis.