Questão 138 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (poliedros, hexágono regular, diagonais)
• ⚡ Nível: Difícil — exige visualizar um corte hexagonal dentro de um cubo e depois classificar as diagonais desse hexágono por comprimento, unindo geometria espacial e geometria plana.
• 🎯 Tema/Habilidade: Seção transversal hexagonal de um cubo e propriedades das diagonais de um hexágono regular.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as 8 diagonais do hexágono IMNKPQ diferentes de IK, quantas têm exatamente o mesmo comprimento que IK?"
• Palavras-chave decisivas: hexágono regular, pontos médios de arestas, diagonais distintas de IK
• Armadilha típica: tratar todas as diagonais do hexágono como se tivessem o mesmo comprimento (ou, no extremo oposto, achar que só existe uma diagonal igual a IK), sem perceber que um hexágono regular tem dois grupos distintos de diagonais.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar corretamente a posição relativa de I e K na sequência de vértices e generalizar esse padrão de distância para os demais pares de vértices do hexágono.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Seção hexagonal do cubo: ao unir os pontos médios de 6 arestas alternadas de um cubo, obtém-se sempre um hexágono regular — um dos "cortes notáveis" clássicos da geometria espacial.
• Número de diagonais de um polígono: um polígono de n lados tem n(n−3)/2 diagonais; para o hexágono (n = 6), isso dá 6×3/2 = 9 diagonais.
• Dois tipos de diagonal no hexágono regular: as que ligam vértices opostos (separados por 3 lados) passam pelo centro da figura e medem 2×(lado) — são as "diagonais maiores"; as que ligam vértices separados por 2 lados medem (lado)×√3 — são as "diagonais menores".
• Simetria hexagonal: todo hexágono regular possui exatamente 3 diagonais maiores e 6 diagonais menores, um resultado fixo que vale para qualquer hexágono regular, independentemente do tamanho.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "polígono IMNKPQ, no formato de um hexágono regular" → garante que os 6 lados e os 6 ângulos internos são congruentes, logo as diagonais só podem se dividir nesses dois grupos de comprimento.
• Evidência 2: "vértices... situados em pontos médios de arestas da caixa" → cada vértice do hexágono é o ponto médio de uma aresta do cubo, o que permite montar coordenadas e calcular distâncias exatas em vez de "adivinhar" pelo desenho.
• Síntese: basta localizar I e K na sequência cíclica I-M-N-K-P-Q, verificar quantas posições os separam e aplicar essa mesma lógica de contagem aos demais pares de vértices para saber quantos reproduzem o comprimento de IK.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando coordenadas para o cubo e localizando o hexágono

Considere um cubo de aresta a, com vértices variando entre (0,0,0) e (a,a,a). O plano que passa pelos pontos médios de 6 arestas alternadas do cubo é x + y + z = 3a/2. Esse plano intersecta exatamente 6 arestas — uma em cada face lateral — gerando os pontos médios:

I = (a, a/2, 0), M = (a/2, a, 0), N = (0, a, a/2), K = (0, a/2, a), P = (a/2, 0, a), Q = (a, 0, a/2).

Seguindo a face do cubo à qual cada segmento pertence, a ordem cíclica correta desses pontos é I → M → N → K → P → Q → I, exatamente a ordem dada no enunciado (IMNKPQ).

Subpasso 4.2 — Calculando o lado do hexágono e classificando o segmento IK

O lado do hexágono (por exemplo, IM) mede:

IM = √[(a/2)² + (a/2)² + 0²] = (a√2)/2.

Na sequência I(1)-M(2)-N(3)-K(4)-P(5)-Q(6), o vértice K é o 4º, três posições depois de I(1º) — ou seja, I e K são vértices opostos do hexágono, e o segmento IK passa pelo centro da figura (é um "diâmetro" do hexágono). Calculando diretamente pelas coordenadas:

IK = √[(a−0)² + (a/2−a/2)² + (0−a)²] = √(a² + a²) = a√2.

Repare que a√2 = 2 × (a√2/2) = 2 × IM: isso confirma que IK pertence ao grupo das "diagonais maiores", com o dobro do comprimento do lado.

Subpasso 4.3 — Verificação: contando todas as diagonais e comparando comprimentos

O hexágono IMNKPQ tem 9 diagonais ao todo. Entre os 6 vértices, existem apenas 3 pares de vértices opostos (separados por exatamente 3 posições na sequência): I–K, M–P e N–Q. Cada um desses segmentos passa pelo centro do hexágono e mede a√2, exatamente como IK — basta calcular MP ou NQ pelas coordenadas para confirmar o mesmo valor a√2, por simetria da figura.

As outras 6 diagonais (I–N, I–P, M–K, M–Q, N–P, K–Q) ligam vértices separados por apenas 2 posições, e têm um comprimento diferente. Por exemplo:

IN = √[(a−0)² + (a/2−a)² + (0−a/2)²] = √(a² + a²/4 + a²/4) = a√(3/2) = (a√6)/2 ≈ 0,87a,

valor menor que IK = a√2 ≈ 1,41a.

Logo, das 8 diagonais distintas de IK, exatamente 2 (MP e NQ) compartilham seu comprimento — resultado que aponta diretamente para a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1

❌ Incorreta: subestima a simetria do hexágono regular. Quem marca essa opção provavelmente encontrou apenas uma das duas diagonais maiores restantes (por exemplo, só MP) e não percebeu que NQ, por simetria da figura, tem exatamente o mesmo comprimento de IK.

B) 2

✅ Correta: as diagonais maiores de um hexágono regular ligam sempre vértices opostos (separados por 3 posições) e passam pelo centro da figura, medindo o dobro do lado. Excluindo a própria IK, restam apenas MP e NQ nessa categoria — ambas medem a√2, o mesmo valor de IK.

C) 4

❌ Incorreta: corresponde a misturar diagonais de grupos diferentes — por exemplo, somar às diagonais maiores algumas diagonais menores (de comprimento a√6/2) como se tivessem o mesmo comprimento de IK, ou contar duplicadamente pares que na verdade são o mesmo segmento.

D) 8

❌ Incorreta: equivale a supor que todas as demais diagonais do hexágono (todas, exceto IK) têm o mesmo comprimento entre si — como se o hexágono não distinguisse diagonais maiores de menores. Isso ignora a existência dos dois grupos de comprimento distintos, típicos de qualquer hexágono regular.

E) 9

❌ Incorreta: é o número total de diagonais do hexágono, incluindo a própria IK — não o número de diagonais de mesmo comprimento excluindo IK. É o erro de responder "quantas diagonais existem" em vez de "quantas têm o comprimento de IK".

🏆 Gabarito: B — Das 9 diagonais do hexágono regular IMNKPQ, apenas 3 são "diagonais maiores" (ligam vértices opostos e medem o dobro do lado): IK, MP e NQ. Excluindo a própria IK, restam exatamente 2 diagonais — MP e NQ — com o mesmo comprimento.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como IK liga dois vértices opostos do hexágono regular (3 posições de distância na sequência I-M-N-K-P-Q), apenas os outros dois pares de vértices opostos — M-P e N-Q — reproduzem esse mesmo comprimento; portanto a resposta só pode ser 2.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de explorar o hexágono regular formado pelos pontos médios de arestas alternadas de um cubo — é um dos "cortes notáveis" da geometria espacial, ao lado do triângulo equilátero (corte por três vértices próximos) e do retângulo (corte por uma diagonal do cubo).
• Generalização: em qualquer hexágono regular, existem sempre exatamente 3 diagonais "maiores" (passam pelo centro, medem 2×lado) e 6 diagonais "menores" (medem lado×√3) — memorize esse par (3 e 6) para resolver rapidamente questões análogas envolvendo hexágonos.
• Dica de eliminação rápida: conte quantas posições separam os dois vértices citados na diagonal de referência dentro da sequência de vértices do hexágono. Se forem 3 posições (vértices opostos), a resposta sobre "diagonais de mesmo comprimento" será sempre 2; se forem 2 posições, a resposta será sempre 4 — isso já elimina C, D e E em segundos.
• Conexões: revise também "área e perímetro de hexágono regular" e "seções planas de sólidos" (corte triangular, quadrado e retangular em um cubo), temas frequentemente cobrados em conjunto com esse tipo de questão no ENEM.