Questão 163 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão Geométrica aplicada a um contexto de escala/área
• ⚡ Nível: Fácil — o raciocínio é direto (dobrar ao meio = dividir a área por 2 a cada etapa), bastando reconhecer a potência de base 2.
• 🎯 Tema/Habilidade: Progressão Geométrica em situação-problema real — competência de modelar matematicamente um processo de repetição (dobradura de papel) usando potenciação.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas folhas do formato A8 cabem dentro de uma única folha A0, sabendo que cada dobra ao meio reduz a área da folha pela metade?"
• Palavras-chave decisivas: dobra-se ao meio, A0 até A8, quantas folhas
• Armadilha típica: confundir o número de dobras (8) com o número de folhas resultantes, respondendo diretamente "8" ou fazendo uma multiplicação simples em vez de elevar 2 à oitava potência.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato entende que cada dobra sucessiva duplica a quantidade de folhas do novo tamanho contidas na folha original, gerando uma progressão geométrica de razão 2, e não uma progressão aritmética.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Geométrica (PG): sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante q. Aqui, a quantidade de folhas de tamanho An contidas em A0 forma uma PG de razão q = 2.
• Dobra ao meio e área: dobrar uma folha ao meio (sempre no lado maior) divide sua área exatamente por 2, produzindo dois retângulos congruentes e proporcionais ao original — é assim que nasce o próximo formato da série.
• Relação dobras → folhas: se uma folha sofre n dobras sucessivas, o total de partes obtidas é 2ⁿ, pois cada dobra dobra (multiplica por 2) a quantidade de pedaços existentes até aquele momento.
• Padrão ISO 216: cada formato An é definido como A(n−1) dobrada ao meio; logo, o índice n indica exatamente quantas dobras separam aquele formato de A0.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "dobra-se a folha ao meio, sempre no lado maior, obtendo os demais formatos" → confirma que cada etapa da série é uma divisão exata da área por 2, sempre no mesmo lado, o que preserva a proporção entre os lados mas, para a contagem de folhas, importa apenas o número de divisões realizadas.
• Evidência 2: "A1 tem o formato da folha A0 dobrada ao meio uma vez, A2 duas vezes" → estabelece a regra geral: o índice do formato An corresponde exatamente ao número de dobras aplicadas a partir de A0. Logo, A8 corresponde a 8 dobras.
• Evidência 3 (figura): a imagem mostra A0, A1 e A2 desenhados lado a lado, cada um com a mesma medida de referência de 84,1 cm e 118,9 cm tracejada ao redor, evidenciando visualmente que cada formato ocupa metade da área do anterior, mantendo a folha original como moldura de comparação.
• Síntese: como o índice de cada formato conta o número de dobras a partir de A0, ir de A0 até A8 exige 8 dobras sucessivas. Cada dobra duplica a quantidade de folhas do tamanho corrente contidas na folha original — isso configura uma PG de razão 2, cujo oitavo termo responde à pergunta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelando o problema como uma progressão geométrica

Seja Fₙ o número de folhas de tamanho An que cabem em uma única folha A0. Como cada dobra duplica a quantidade de peças:

F₀ = 1 (a própria folha A0, sem dobras)

F₁ = 2 (uma dobra → 2 folhas A1)

F₂ = 4 (duas dobras → 4 folhas A2)

F₃ = 8, e assim por diante, sempre Fₙ = F(n−1) × 2.

Isso é uma PG de primeiro termo F₀ = 1 e razão q = 2, cujo termo geral é:

Fₙ = F₀ × qⁿ = 1 × 2ⁿ = 2ⁿ

Subpasso 4.2 — Calculando para n = 8

F₈ = 2⁸ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256

Uma forma rápida de conferir: 2⁴ = 16, logo 2⁸ = (2⁴)² = 16² = 256.

Subpasso 4.3 — Verificação por área

Pela definição do padrão ISO 216, a área da folha A0 (84,1 cm × 118,9 cm ≈ 9.999,5 cm²) é, por construção, igual a 1 m². A cada dobra, a área é dividida por 2, então:

Área(A8) = Área(A0) ÷ 2⁸ = 1 m² ÷ 256 ≈ 0,0039 m² = 39,06 cm²

Número de folhas A8 que cabem em A0 = Área(A0) ÷ Área(A8) = 1 ÷ (1/256) = 256 ✅

O resultado bate exatamente com o cálculo pela progressão geométrica, confirmando 256 como resposta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 8

❌ Incorreta: corresponde ao número de dobras realizadas para ir de A0 até A8, não à quantidade de folhas resultante. É a confusão clássica entre "número de etapas" e "resultado da progressão geométrica" — o erro de tratar um processo multiplicativo como se fosse aditivo.

B) 16

❌ Incorreta: equivale a 2⁴, ou seja, seria o número de folhas A4 obtidas a partir de A0 (apenas 4 dobras). Quem chega a esse valor provavelmente contou dobras pela metade do caminho ou fez uma conta parcial.

C) 64

❌ Incorreta: equivale a 2⁶, ou seja, o número de folhas A6 obtidas a partir de A0 (6 dobras). É um erro de contar duas dobras a menos que o necessário para chegar em A8.

D) 128

❌ Incorreta: equivale a 2⁷, ou seja, apenas 7 dobras. É o clássico erro "off-by-one" — esquecer de contabilizar a última dobra, que leva de A7 para A8.

E) 256

✅ Correta: 2⁸ = 256 é o resultado exato de 8 dobras sucessivas partindo de A0 até chegar ao formato A8, confirmado tanto pela progressão geométrica dos formatos quanto pela verificação da razão entre as áreas.

🏆 Gabarito: E — Como cada dobra ao meio duplica a quantidade de folhas contidas na peça original, e de A0 até A8 são necessárias 8 dobras sucessivas, o total de folhas A8 obtidas é 2⁸ = 256.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como cada formato An resulta de n dobras ao meio a partir de A0, e cada dobra duplica o número de partes, apenas o cálculo 2⁸ = 256 é coerente com a definição do padrão ISO 216 descrita no enunciado, tornando E a única alternativa correta.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente explora contextos de "dobra sucessiva", "corte ao meio" ou "divisão por metades" para testar progressões geométricas de razão 2 (ou 1/2), disfarçadas em situações do cotidiano como dobradura de papel, meia-vida de substâncias e diluições.
• Generalização: sempre que uma grandeza é sucessivamente dividida (ou multiplicada) por um mesmo fator a cada etapa, o resultado após n etapas é dado por (fator)ⁿ aplicado ao valor inicial — nunca pela multiplicação simples do fator pelo número de etapas.
• Dica de eliminação rápida: identifique o número de etapas do processo (aqui, 8 dobras) e calcule diretamente a potência de 2 correspondente; alternativas que soam como múltiplos "redondos" do número de etapas (como 8, 16, 64, 128) costumam ser pegadinhas de contagem incompleta — sempre confira se o expoente bate exatamente com o número de etapas do enunciado.
• Conexões: esse raciocínio de duplicação/divisão sucessiva também aparece em problemas de meia-vida radioativa (decaimento exponencial) e em torneios eliminatórios de "mata-mata" (contagem de jogos e rodadas por potências de 2).