Questão 136 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim aplicada a custo total (custo fixo + custo variável)
• ⚡ Nível: Médio — exige organizar três grandezas (custo da máquina, custo do cartucho e cópias por cartucho) em um cálculo comparativo, sem se deixar levar por comparações parciais.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situação-problema por meio de função afim para comparar o custo-benefício de opções de compra.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as impressoras A, B e C, qual(is) apresenta(m) o menor custo total para produzir exatamente 50 000 cópias?"
• Palavras-chave decisivas: custo da máquina, custo do cartucho, cópias por cartucho, exatamente 50 000 cópias
• Armadilha típica: comparar apenas o preço do cartucho ou apenas o rendimento (cópias por cartucho) isoladamente, ignorando que o custo da máquina também entra na conta — ou esquecer de verificar se há empate entre duas opções.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar o custo total de cada impressora (investimento inicial + gasto com cartuchos necessários) e comparar os três valores para a mesma demanda.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Custo fixo: valor pago uma única vez, independente da quantidade produzida — aqui, o preço da máquina (sem cartucho).
• Custo variável: valor que cresce proporcionalmente à quantidade produzida — aqui, o total gasto com cartuchos, que depende de quantas cópias cada cartucho rende.
• Função afim de custo total: C(x) = custo fixo + (custo variável por unidade) × x, em que x representa a quantidade de "unidades" consumidas (no caso, o número de cartuchos usados).
• Divisão como ferramenta de proporcionalidade: para saber quantos cartuchos são necessários, basta dividir a demanda total de cópias pelo rendimento de cada cartucho.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "sua demanda será de, exatamente, 50 000 cópias" → indica um valor fixo de x (cópias) a ser usado igualmente no cálculo das três impressoras, permitindo uma comparação justa.
• Evidência 2: a tabela traz, para cada impressora, três dados: custo da máquina, custo do cartucho e cópias por cartucho → esses são exatamente os ingredientes para montar a função custo total de cada opção.
• Síntese: o problema pede que se calcule, para A, B e C, o valor de C(50 000) = custo da máquina + (número de cartuchos necessários) × (custo do cartucho), e depois se compare os três resultados para decidir qual(is) impressora(s) é(são) mais vantajosa(s).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular quantos cartuchos cada impressora precisa para 50 000 cópias

Como cada cartucho rende um número fixo de cópias, basta dividir a demanda pelo rendimento:

• Impressora A: 50 000 ÷ 1 000 = 50 cartuchos
• Impressora B: 50 000 ÷ 2 000 = 25 cartuchos
• Impressora C: 50 000 ÷ 5 000 = 10 cartuchos

Nos três casos a divisão é exata — não há necessidade de arredondar para cima, o que simplifica a comparação.

Subpasso 4.2 — Montar o custo total de cada impressora (máquina + cartuchos)

Custo total = custo da máquina + (número de cartuchos × custo do cartucho)

• Impressora A: R$ 500,00 + (50 × R$ 80,00) = R$ 500,00 + R$ 4 000,00 = R$ 4 500,00
• Impressora B: R$ 1 100,00 + (25 × R$ 140,00) = R$ 1 100,00 + R$ 3 500,00 = R$ 4 600,00
• Impressora C: R$ 2 000,00 + (10 × R$ 250,00) = R$ 2 000,00 + R$ 2 500,00 = R$ 4 500,00

Subpasso 4.3 — Verificação e comparação dos três resultados

Colocando os três custos totais lado a lado:

C(A) = R$ 4 500,00 ≤ C(C) = R$ 4 500,00 < C(B) = R$ 4 600,00

Ou seja, A e C empatam exatamente no menor custo total (R$ 4 500,00 cada), enquanto B é R$ 100,00 mais cara. Como confirmação, é possível checar pelo custo por cópia: A custa R$ 0,09/cópia, B custa R$ 0,092/cópia e C custa R$ 0,09/cópia — o mesmo padrão se repete. Logo, a empresa deve optar por A ou C, e evitar B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) A ou B, em vez de C.

❌ Incorreta: inclui B, que é justamente a opção de maior custo total (R$ 4 600,00), e exclui C, que empata com A no menor valor (R$ 4 500,00). A lógica está invertida em relação aos dados calculados.

B) B, em vez de A ou C.

❌ Incorreta: coloca a impressora mais cara (B) como a escolha preferencial e descarta exatamente as duas opções mais baratas (A e C). Contraria diretamente o resultado numérico.

C) A, em vez de B ou C.

❌ Incorreta: A de fato tem um dos menores custos totais, mas a alternativa erra ao excluir C, que apresenta custo total idêntico (R$ 4 500,00). Ignora o empate técnico entre A e C.

D) C, em vez de A ou B.

❌ Incorreta: pelo mesmo motivo da anterior — C tem custo mínimo, mas a alternativa erra ao descartar A, que empata exatamente com C no menor valor total.

E) A ou C, em vez de B.

✅ Correta: reconhece corretamente que A e C empatam no menor custo total (R$ 4 500,00 cada) e que ambas são mais vantajosas do que B (R$ 4 600,00). É a única alternativa compatível com o empate revelado pelos cálculos.

🏆 Gabarito: E — A e C apresentam exatamente o mesmo custo total (R$ 4 500,00) para produzir 50 000 cópias, valor inferior ao de B (R$ 4 600,00); portanto a empresa deve adquirir A ou C, em vez de B.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa E traduz corretamente o resultado dos cálculos — um empate entre A e C como opções de menor custo, ambas superiores a B.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência problemas de "custo-benefício" que comparam uma taxa fixa (adesão, aluguel, compra de equipamento) com uma taxa variável (por uso, por unidade, por cópia) — é a aplicação clássica de função afim a decisões de consumo.
• Generalização: sempre que houver um valor fixo somado a um valor proporcional à quantidade consumida, escreva C(x) = fixo + variável × x, substitua x pela demanda informada e só então compare os totais — nunca compare apenas uma das parcelas isoladamente.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o custo por cópia (custo do cartucho ÷ cópias por cartucho) de cada opção para ter uma ideia inicial, mas sempre confirme somando o custo fixo da máquina, pois ele pode alterar — ou até empatar — o resultado final, como ocorreu aqui entre A e C.
• Conexões: esse mesmo raciocínio aparece em questões sobre planos de telefonia (taxa fixa + minutos), aluguel de veículos (diária + km rodado) e contas de consumo (taxa fixa + tarifa por unidade) — todos casos de função afim comparando custo total para uma mesma demanda.