Questão 173 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria espacial (pirâmide regular) + Teorema de Pitágoras + diagonal do quadrado
• ⚡ Nível: Médio — o caminho é conhecido, mas exige perceber que a aresta lateral se apoia na metade da diagonal da base, e não no apótema.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relações métricas na pirâmide regular; resolver situação-problema com sólidos geométricos.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Numa pirâmide regular de base quadrada de lado 214 m e arestas laterais de 204 m, qual é a altura?"
• Palavras-chave decisivas: pirâmide regular, base quadrada com lados medindo 214 m, arestas laterais meçam 204 m, altura.
• Armadilha típica: montar o triângulo retângulo com a metade do lado (107 m) em vez da metade da diagonal (≈ 151,3 m). Esse erro produz um dos distratores — e ele é, na verdade, a altura da face, não da pirâmide.
• O que a resposta precisa demonstrar: que você identifica o triângulo retângulo correto — altura h, metade da diagonal da base e aresta lateral (a hipotenusa) — e aplica Pitágoras.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Pirâmide regular: a altura cai do vértice (topo) exatamente no centro do quadrado da base.
• Diagonal do quadrado: d = ℓ√2. O centro do quadrado está a d/2 de cada vértice.
• Aresta lateral: o segmento que liga o topo a um vértice da base. Junto com a altura e com a meia-diagonal, ela fecha um triângulo retângulo em que a aresta lateral é a hipotenusa.
• Apótema da pirâmide (altura da face): liga o topo ao ponto médio de um lado, e se apoia na metade do lado (107 m). É outro triângulo — não confunda os dois.
• Teorema de Pitágoras: hipotenusa² = cateto² + cateto².

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m" → diagonal = 214√2 m; metade da diagonal = 107√2 ≈ 151,3 m — essa é a distância do centro da base a cada vértice.
• Evidência 2: "suas arestas laterais meçam 204 m" → 204 m é a distância do topo até um vértice da base, ou seja, a hipotenusa do triângulo que contém a altura.
• Evidência 3: "Considere que a pirâmide de Quéops seja regular" → a altura cai no centro do quadrado; o triângulo (altura, meia-diagonal, aresta) é retângulo.
• Síntese: h² + (meia-diagonal)² = (aresta lateral)². Isolar h.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Metade da diagonal da base

Base quadrada de lado ℓ = 214 m:

d = ℓ√2 = 214√2 ≈ 214 × 1,414 ≈ 302,6 m

d/2 = 107√2 ≈ 151,3 m

(Repare: 107√2 é a distância do centro do quadrado até um vértice — exatamente o cateto que precisamos.)

Subpasso 4.2 — Aplicar Pitágoras

No triângulo retângulo formado por h (altura), d/2 (meia-diagonal) e a aresta lateral 204 m (hipotenusa):

(aresta)² = h² + (d/2)²

204² = h² + (107√2)²

Contas:

204² = 41 616

(107√2)² = 107² × 2 = 11 449 × 2 = 22 898

h² = 41 616 − 22 898 = 18 718

h = √18 718 ≈ 136,8 m

Subpasso 4.3 — Verificação

Confirmando o valor: 136,8² ≈ 18 714 e 151,3² ≈ 22 892. Somando: 18 714 + 22 892 = 41 606 ≈ 41 616 = 204² ✔ (as pequenas diferenças vêm dos arredondamentos).

Coerência física: a altura (136,8 m) tem de ser menor que a aresta lateral (204 m), porque é um cateto de um triângulo cuja hipotenusa é a aresta. ✔

O valor 136,8 está na alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 97,0.

❌ Incorreta: não satisfaz Pitágoras. Se h fosse 97,0 m, a aresta lateral valeria √(97² + 151,3²) = √(9 409 + 22 898) = √32 307 ≈ 179,7 m — bem abaixo dos 204 m informados. O valor subestima a altura real.

B) 136,8.

✅ Correta: h = √(204² − (107√2)²) = √(41 616 − 22 898) = √18 718 ≈ 136,8 m. É o único valor compatível com aresta lateral de 204 m e meia-diagonal de ≈ 151,3 m.

C) 173,7.

❌ Incorreta: é a clássica troca de cateto. 173,7 = √(204² − 107²) = √(41 616 − 11 449) = √30 167 — ou seja, usa a metade do lado (107 m) em vez da metade da diagonal (151,3 m). Esse número existe na pirâmide, mas é o apótema (a altura da face triangular), não a altura do sólido.

D) 189,3.

❌ Incorreta: para que a altura fosse 189,3 m, a meia-diagonal teria de valer √(204² − 189,3²) = √(41 616 − 35 834) ≈ 76,0 m. Mas a meia-diagonal do quadrado de lado 214 m é ≈ 151,3 m — o dobro disso. Incompatível com a base dada.

E) 240,0.

❌ Incorreta: é maior que a própria aresta lateral (204 m). Impossível: a altura é um cateto do triângulo retângulo cuja hipotenusa é a aresta lateral, e cateto é sempre menor que a hipotenusa.

🏆 Gabarito: B — com meia-diagonal 107√2 ≈ 151,3 m e aresta lateral 204 m, Pitágoras dá h = √(41 616 − 22 898) = √18 718 ≈ 136,8 m.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só 136,8 m fecha a conta 204² = h² + (107√2)². Qualquer outro valor exige trocar um cateto ou violar a desigualdade cateto < hipotenusa.
• Padrão de cobrança: pirâmides (Quéops, Louvre, tendas, telhados) caem sempre com o mesmo dilema: qual cateto usar? A resposta depende de o dado ser a aresta lateral (→ meia-diagonal) ou o apótema/altura da face (→ metade do lado).
• Generalização: numa pirâmide regular de base quadrada de lado ℓ:

- com a aresta lateral a: h = √(a² − (ℓ√2/2)²)

- com o apótema g (altura da face): h = √(g² − (ℓ/2)²)

Aqui: √(204² − 151,3²) ≈ 136,8 e √(173,7² − 107²) ≈ 136,8 — os dois caminhos batem.

• Dica de eliminação rápida: a altura precisa ser menor que 204 → mata E na hora. E como a meia-diagonal (≈ 151,3) já é grande, o que sobra de h é bem menor que ela: procure valores próximos de 130–140. Isso deixa só B de pé.
• Conexões: apótema e área lateral da pirâmide, diagonal do quadrado e do cubo, volume da pirâmide (V = A_base · h / 3).