Questão 154 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas de círculo e coroa circular)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar corretamente a equação de áreas e resolver uma equação com raiz quadrada, sem cair na armadilha da proporcionalidade linear entre raios
• 🎯 Tema/Habilidade: Área de figuras planas (círculo e coroa circular) — resolução de problemas geométricos por meio de equações algébricas (Competência de Área 2/Habilidade H12/H13 da matriz do ENEM)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontrar a relação matemática entre o raio externo R e o raio interno r de modo que a área do círculo central seja exatamente igual à área da faixa (coroa circular) que o envolve."
• Palavras-chave decisivas: área central, faixa circular sombreada, igual
• Armadilha típica: achar que, para as áreas serem iguais, os raios também precisam manter uma relação linear simples (como R = 2r, dobrando o raio) — esse é exatamente o erro embutido na alternativa A, pois a área de um círculo cresce com o quadrado do raio, não linearmente.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a figura (dois círculos concêntricos) em uma equação de áreas, isolar R² e extrair corretamente a raiz quadrada, respeitando que R é uma medida positiva.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do círculo: para um círculo de raio x, a área é A = πx². É a fórmula-base de toda a questão, aplicada tanto ao círculo pequeno (raio r) quanto ao círculo grande (raio R).
• Coroa circular (anel): quando dois círculos são concêntricos (mesmo centro), a região entre eles — a "faixa" — tem área igual à diferença entre a área do círculo maior e a área do círculo menor: A_faixa = πR² − πr².
• Equações com radicais: ao isolar uma variável elevada ao quadrado (R² = k), a solução geométrica válida é sempre a raiz positiva, R = √k, pois um raio nunca é negativo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "canteiro circular... constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor" → confirma, junto com a figura, que existem dois círculos concêntricos: o círculo interno de raio r (área central, em branco) e o círculo externo de raio R (contorno de toda a figura), sendo a faixa cinza a coroa circular entre os dois.
• Evidência 2: "área central seja igual à área da faixa circular sombreada" → é a condição matemática que resolve o problema: a área do círculo pequeno deve ser igual à área da coroa (círculo grande menos círculo pequeno). Essa frase se traduz diretamente na equação πr² = πR² − πr².
• Síntese: a figura fixa o papel de cada letra (r = raio interno, R = raio externo) e o enunciado fornece a igualdade entre as duas áreas; basta montar a equação, simplificar por π e isolar R em função de r.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando a equação de áreas

Seja r o raio do círculo central e R o raio do círculo externo (que delimita todo o canteiro).

• Área central: A_central = π · r²
• Área total do canteiro: A_total = π · R²
• Área da faixa sombreada (coroa circular): A_faixa = A_total − A_central = π · R² − π · r²

A condição do problema é: A_central = A_faixa

π · r² = π · R² − π · r²

Subpasso 4.2 — Isolando R

Somando π·r² aos dois lados da equação:

π · r² + π · r² = π · R²

2π · r² = π · R²

Dividindo ambos os lados por π (π ≠ 0, pode-se cancelar):

2r² = R², ou seja, R² = 2r²

Extraindo a raiz quadrada (raiz positiva, pois R é uma medida de comprimento):

R = √(2r²) = √2 · √(r²) = r√2

Subpasso 4.3 — Verificação

Testando R = r√2: então R² = 2r².

• Área total = πR² = π(2r²) = 2πr²
• Área central = πr²
• Área da faixa = 2πr² − πr² = πr²

Como πr² (central) = πr² (faixa), a condição do enunciado é satisfeita perfeitamente. O resultado R = r√2 confere exatamente com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R = 2r

❌ Incorreta: aplica proporcionalidade linear entre os raios, ignorando que a área cresce com o quadrado do raio. Se R = 2r, a área total seria π(2r)² = 4πr², e a faixa teria 4πr² − πr² = 3πr² — três vezes a área central, não a mesma área. É a armadilha clássica de quem confunde razão de raios com razão de áreas.

B) R = r√2

✅ Correta: é exatamente o resultado obtido ao resolver πr² = πR² − πr², chegando a R² = 2r² e, portanto, R = r√2, conforme demonstrado no Passo 4.

C) R = r² + 2r/2

❌ Incorreta: a expressão é dimensionalmente inconsistente — soma um termo de área (r²) com um termo de comprimento (2r/2 = r), o que não tem sentido físico nem geométrico. Nenhuma manipulação correta da equação πr² = πR² − πr² leva a essa forma.

D) R = r² + 2r

❌ Incorreta: mesmo defeito da alternativa C — mistura uma grandeza de área (r²) com uma de comprimento (2r) em uma soma, o que é geometricamente inválido. É o tipo de erro que surge ao tentar "abrir" a equação quadrática sem isolar R corretamente.

E) R = (3/2)r

❌ Incorreta: testando esse valor, R² = (9/4)r² = 2,25r², que é diferente de 2r². Nesse caso a área total seria 2,25πr², e a faixa teria 2,25πr² − πr² = 1,25πr², que não é igual à área central (πr²). O valor "bonito" 3/2 não satisfaz a equação do problema.

🏆 Gabarito: B — a única relação entre R e r que faz a área do círculo central se igualar à área da faixa circular ao redor é R = r√2, obtida ao resolver πr² = πR² − πr² e extrair a raiz quadrada positiva de R² = 2r².

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só R = r√2 satisfaz simultaneamente a definição de coroa circular e a condição de igualdade de áreas dada no enunciado; todas as demais alternativas falham no teste algébrico ou são dimensionalmente incoerentes.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra problemas de círculos concêntricos e coroas circulares em contextos aplicados (piscinas com bordas, jardins, canteiros, alvos, CDs/DVDs), sempre exigindo que o candidato monte uma equação de áreas a partir de uma condição verbal.
• Generalização: sempre que a área é comparada entre regiões (não os raios diretamente), lembre-se de que A = πx² é uma relação quadrática; qualquer atalho que compare raios de forma linear (como "dobrar o raio dobra a área") está errado.
• Dica de eliminação rápida: primeiro, elimine alternativas com problema de unidade/dimensão (somar r² com r, como em C e D, nunca faz sentido geométrico). Depois, teste mentalmente valores simples de r (ex.: r = 1) nas alternativas restantes e verifique qual R² resulta em área da faixa igual à área central — isso descarta A e E rapidamente.
• Conexões: este problema se conecta diretamente com "razão entre áreas de figuras semelhantes" (a razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança) e com problemas de porcentagem envolvendo áreas de círculos concêntricos, temas frequentes em questões de Geometria Plana do ENEM.