Questão 178 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade de eventos independentes (regras do produto e da soma)
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar as 9 combinações de resultados possíveis para R e S, converter cada uma em pontuação final e filtrar corretamente apenas as que geram vitória exclusiva.
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade de eventos independentes aplicada a uma situação-problema com múltiplos casos (Competência de Área 7 do ENEM — compreender o caráter aleatório de fenômenos e utilizar probabilidade para tomar decisões).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é a probabilidade de a pontuação final de R ficar estritamente maior que a de S após a última rodada?"
• Palavras-chave decisivas: único vencedor, não se enfrentarão, empate... são declarados vencedores
• Armadilha típica: confundir "probabilidade de R vencer sua partida" com "probabilidade de R ser campeão único" — ignorando o que acontece no jogo de S, que é o verdadeiro fator de desempate.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de tratar dois eventos independentes (resultado de R e resultado de S), converter cada um em pontos, cruzar as combinações e somar apenas os casos em que R termina acima de S — nunca empatado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Eventos independentes: como R e S disputam partidas diferentes na rodada final, o resultado de um não interfere no do outro. Por isso, a probabilidade de uma combinação de resultados (um de R e um de S) é o produto das probabilidades individuais.
• Espaço amostral completo de um jogo: em qualquer partida só há três desfechos — vitória, empate ou derrota — e a soma das três probabilidades deve ser 100%. Isso permite calcular a probabilidade de derrota por complementaridade, mesmo quando o enunciado não a informa diretamente.
• Regra da soma para casos mutuamente exclusivos: diferentes combinações de resultados (por exemplo, "R vence e S empata" ou "R empata e S perde") podem levar ao mesmo desfecho final desejado. Quando isso acontece, somam-se as probabilidades de cada combinação para obter a probabilidade total do evento.
• Critério de desempate do enunciado: pontuação final igual entre R e S significa que ambos são declarados campeões — não há "vencedor único" nesse cenário. Logo, o evento pedido é R > S, e não R ≥ S.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "ambos possuem 68 pontos" → R e S partem exatamente do mesmo patamar; o time que somar mais pontos na rodada final assume a ponta sozinho.
• Evidência 2: "R e S não se enfrentarão na rodada final" → os dois resultados são independentes, o que autoriza multiplicar as probabilidades de cada combinação.
• Evidência 3: "R tem 80% de chance de ganhar e 15% de empatar" / "S tem 40% de chance de ganhar e 20% de empatar" → como um jogo só admite vitória, empate ou derrota, a chance de derrota de cada time é o complemento: R perde com 100% − 80% − 15% = 5%; S perde com 100% − 40% − 20% = 40%.
• Evidência 4: "Em caso de empate no total de pontos, os times são declarados vencedores" → pontuação final idêntica gera cocampeonato, não conta como "R único vencedor".
• Síntese: o problema pede P(pontos finais de R > pontos finais de S). Para isso, é preciso listar as três pontuações finais possíveis de cada time (a partir dos 68 pontos), cruzar as 3 × 3 = 9 combinações e somar apenas as probabilidades das combinações em que R termina estritamente acima de S.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Completar as probabilidades implícitas de derrota

Como cada partida tem exatamente três desfechos possíveis, as probabilidades de cada time somam 100%:

• R: 80% (V) + 15% (E) + x (D) = 100% → derrota de R = 5%
• S: 40% (V) + 20% (E) + y (D) = 100% → derrota de S = 40%

Subpasso 4.2 — Converter cada resultado em pontuação final

Partindo dos 68 pontos que ambos já possuem, e lembrando que vitória soma 3 pontos, empate soma 1 e derrota soma 0:

| Resultado de R | Pontos finais de R | Probabilidade |

|---|---|---|

| Vitória | 68 + 3 = 71 | 0,80 |

| Empate | 68 + 1 = 69 | 0,15 |

| Derrota | 68 + 0 = 68 | 0,05 |

| Resultado de S | Pontos finais de S | Probabilidade |

|---|---|---|

| Vitória | 68 + 3 = 71 | 0,40 |

| Empate | 68 + 1 = 69 | 0,20 |

| Derrota | 68 + 0 = 68 | 0,40 |

Subpasso 4.3 — Cruzar as 9 combinações e isolar apenas R > S

Como os eventos são independentes, cada combinação tem probabilidade igual ao produto das probabilidades individuais. Organizando todas as 3 × 3 = 9 combinações:

| Pontos de R (prob.) | Pontos de S (prob.) | Comparação | Probabilidade da combinação |

|---|---|---|---|

| 71 (0,80) | 71 (0,40) | empate | 0,80 × 0,40 = 0,32 |

| 71 (0,80) | 69 (0,20) | R > S ✔ | 0,80 × 0,20 = 0,16 |

| 71 (0,80) | 68 (0,40) | R > S ✔ | 0,80 × 0,40 = 0,32 |

| 69 (0,15) | 71 (0,40) | S > R | 0,15 × 0,40 = 0,06 |

| 69 (0,15) | 69 (0,20) | empate | 0,15 × 0,20 = 0,03 |

| 69 (0,15) | 68 (0,40) | R > S ✔ | 0,15 × 0,40 = 0,06 |

| 68 (0,05) | 71 (0,40) | S > R | 0,05 × 0,40 = 0,02 |

| 68 (0,05) | 69 (0,20) | S > R | 0,05 × 0,20 = 0,01 |

| 68 (0,05) | 68 (0,40) | empate | 0,05 × 0,40 = 0,02 |

Somando apenas as três linhas marcadas com R > S:

P(R único vencedor) = 0,16 + 0,32 + 0,06 = 0,54 = 54%

Subpasso 4.4 — Verificação pelo espaço amostral completo

Somando todas as 9 combinações da tabela, o resultado deve fechar 100%, o que confirma que nenhuma combinação foi esquecida:

• P(R > S) = 0,16 + 0,32 + 0,06 = 0,54
• P(empate) = 0,32 + 0,03 + 0,02 = 0,37
• P(S > R) = 0,06 + 0,02 + 0,01 = 0,09
• Soma total: 0,54 + 0,37 + 0,09 = 1,00 ✓

O valor 54% bate exatamente com uma das alternativas, confirmando a resolução.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 32%

❌ Incorreta: 0,32 é apenas o produto P(R vence) × P(S vence) = 0,80 × 0,40. Esse valor corresponde, na verdade, à probabilidade de ambos vencerem seus jogos e empatarem no topo (71 a 71) — ou seja, é a chance de um cocampeonato, exatamente o oposto de "R único vencedor".

B) 38%

❌ Incorreta: 0,38 = 0,80 × 0,40 + 0,15 × 0,40 considera apenas os casos em que S perde (combinado com R vencendo ou empatando). Esse cálculo esquece a combinação "R vence e S empata" (71 a 69), que também garante o título exclusivo a R e vale mais 0,16. Faltam justamente esses 16 pontos percentuais para chegar ao valor correto.

C) 48%

❌ Incorreta: 0,48 = 0,80 × (1 − 0,40) = P(R vence) × P(S não vence). Esse raciocínio analisa corretamente apenas o "ramo R vence" (0,80 × 0,60 = 0,48), mas esquece o "ramo R empata e S perde" (69 a 68), que também torna R campeão único e adiciona mais 0,06. É o erro mais comum: parar a análise após considerar somente a vitória de R.

D) 54%

✅ Correta: soma exata das três combinações em que R termina com pontuação estritamente maior que S — (71,69), (71,68) e (69,68) — resultando em 0,16 + 0,32 + 0,06 = 0,54, ou seja, 54%.

E) 57%

❌ Incorreta: 0,57 = (0,80 + 0,15) × (1 − 0,40) trata "R não perde" e "S não vence" como suficientes para R ser campeão único. O problema é que essa conta inclui indevidamente a combinação "R empata e S empata" (69 a 69), que é um empate no topo (cocampeonato), não uma vitória exclusiva de R. Esse erro conceitual adiciona 0,03 a mais do que deveria.

🏆 Gabarito: D — a probabilidade de R terminar com pontuação estritamente maior que S é a soma das três combinações independentes que garantem essa condição: 0,16 + 0,32 + 0,06 = 0,54 = 54%.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra D é a única que soma corretamente todas as combinações em que R > S sem incluir empates nem excluir nenhum caso de vitória exclusiva — todo o resto é fruto de análise parcial (considerar só um "ramo" do jogo de R) ou de confundir empate com vitória.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar probabilidade de eventos independentes com "múltiplos desfechos por evento" (não apenas sim/não), obrigando o estudante a montar uma árvore ou tabela de combinações e a interpretar com cuidado o que conta como "sucesso" dentro do contexto do problema.
• Generalização: sempre que dois eventos independentes com mais de dois resultados cada precisam ser comparados (quem "ganha" de quem), monte uma tabela cruzada com todas as combinações, calcule cada probabilidade por produto e classifique cada célula (maior, menor, igual) antes de somar — nunca tente atalhos analisando só parte dos casos.
• Dica de eliminação rápida: se o resultado que você achou corresponder a um "cenário isolado" (por exemplo, apenas P(vitória de um) × P(não-vitória do outro)), desconfie: provavelmente falta somar outra combinação válida (como "empate contra derrota"). Sempre confira se a soma de todas as probabilidades do seu raciocínio fecha 100%.
• Conexões: este tipo de questão se conecta com problemas de probabilidade condicional em torneios eliminatórios e com análise combinatória de resultados esportivos, temas recorrentes em provas de vestibular que exploram loterias, campeonatos e jogos com múltiplos desfechos.