Questão 161 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área do círculo e proporcionalidade)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar corretamente uma equação de proporção entre áreas de setores circulares e manipular radicais com a aproximação fornecida
• 🎯 Tema/Habilidade: Área do círculo e razão entre grandezas (competência de resolver situação-problema que envolve área de figuras planas)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontrar o raio de uma pizza circular dividida em 10 fatias iguais, de modo que cada fatia tenha a mesma área de uma fatia da pizza tradicional (30 cm de diâmetro) dividida em 8 fatias."
• Palavras-chave decisivas: mesmo tamanho (mesma área), 10 fatias, √5 ≈ 2,2
• Armadilha típica: achar que o raio deveria ser calculado por regra de três simples entre "8 fatias → 10 fatias", esquecendo que a área do círculo depende do quadrado do raio. Outra armadilha é confundir o valor final (o raio) com o diâmetro da nova pizza.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "fatias com a mesma área" em uma equação com A = πr² dividida pelo número de fatias, isolar o raio e aplicar a aproximação numérica dada para √5.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do círculo: A = π·r², onde r é o raio — fórmula-base para calcular quanto de "pizza" existe no total.
• Fatia como fração da área total: se um círculo de área A é dividido em n fatias iguais, cada fatia tem área A/n.
• Proporcionalidade quadrática: como a área depende de r², a relação entre raio e área nunca é linear — dobrar o raio multiplica a área por 4.
• Aproximação numérica de radicais: quando o enunciado fornece um valor aproximado para uma raiz (aqui, √5 ≈ 2,2), a resposta exata passa por uma expressão do tipo k·√5, e a substituição numérica deve ser feita só na etapa final, após simplificar tudo algebricamente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "diâmetro de 30 cm e é dividida em 8 fatias iguais (mesma área)" → fornece o raio da pizza de referência (15 cm) e o número de fatias original (8), permitindo calcular a área de uma fatia-padrão.
• Evidência 2: "dividi-la em 10 fatias" + "cada fatia... o mesmo tamanho (mesma área) de cada fatia da pizza média" → a exigência não é que a pizza toda tenha a mesma área da original, e sim que cada fatia individual mantenha a área da fatia-padrão — o que obriga a pizza nova a ser maior.
• Evidência 3: "Use 2,2 como aproximação para √5" → sinaliza que a solução algébrica desemboca em uma expressão com √5, indicando o caminho esperado: fatorar 225 (=15²) para isolar um fator 5 dentro da raiz.
• Síntese: como a área de uma fatia é "área total ÷ número de fatias", a condição do problema vira a equação πR²/10 = π·15²/8, em que R é o raio procurado.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área da fatia de referência (pizza tradicional)

Diâmetro = 30 cm → raio r = 15 cm.

Área total: A = π·r² = π·15² = 225π cm².

Dividida em 8 fatias iguais, a área de cada fatia é A_fatia = 225π ÷ 8 cm².

Subpasso 4.2 — Montando a equação para a pizza nova

Seja R o raio da pizza nova. Área total π·R²; dividida em 10 fatias, cada fatia tem área π·R²/10.

A condição do problema exige que essa fatia tenha a mesma área da fatia de referência:

π·R²/10 = 225π/8

Cancelando π dos dois lados: R²/10 = 225/8 → R² = 2250/8 = 281,25

Subpasso 4.3 — Isolando R com a aproximação de √5

Reescrevendo como fração e fatorando para expor a raiz de 5:

R² = 2250/8 = 1125/4. Como 1125 = 225 × 5 e 225 = 15²:

R² = (15² × 5)/4 → R = (15 × √5)/2

Substituindo √5 ≈ 2,2: R = (15 × 2,2)/2 = 33/2 = 16,5 cm

Subpasso 4.4 — Verificação

A pizza tradicional tem raio 15 cm; a nova, com mais fatias do mesmo tamanho, precisa ser maior — 16,5 cm é coerente (cresceu, mas não dobrou). Testando: π·(16,5)²/10 ≈ 27,225π e π·15²/8 = 28,125π — valores compatíveis dentro do arredondamento de √5, confirmando R = 16,5 cm, alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 15,00

❌ Incorreta: repete exatamente o raio da pizza tradicional, sem considerar que a nova pizza precisa ser maior para comportar 10 fatias do mesmo tamanho das 8 fatias originais. Quem marca essa alternativa não resolveu a equação de proporção — apenas devolveu um dado já presente no enunciado.

B) 16,50

✅ Correta: é exatamente o valor obtido ao resolver π·R²/10 = 225π/8, isolando R = 15√5/2 e substituindo √5 ≈ 2,2, resultando em R = 33/2 = 16,5 cm.

C) 18,75

❌ Incorreta: surge de um erro clássico de proporcionalidade — tratar o raio como diretamente proporcional ao número de fatias (regra de três simples: R = 15 × 10/8 = 18,75), esquecendo que a área do círculo depende do quadrado do raio. Esse erro ignora completamente a fórmula A = πr² e trata a área como se fosse linear em r.

D) 33,00

❌ Incorreta: é o valor de 15√5 (ou seja, 15 × 2,2 = 33) SEM dividir por 2 ao final. Numericamente, esse valor é exatamente o diâmetro da pizza correta (2 × 16,5 = 33), não o raio. É a armadilha de confundir raio com diâmetro na resposta final — um erro de leitura do que a questão pede, não de cálculo.

E) 37,50

❌ Incorreta: combina dois erros — usa o diâmetro da pizza original (30 cm) em vez do raio, E aplica a proporcionalidade linear incorreta (30 × 10/8 = 37,5) em vez da proporcionalidade quadrática exigida pela área. É a versão "com diâmetro" do mesmo erro conceitual da alternativa C.

🏆 Gabarito: B — o raio da nova pizza é R = 15√5/2 ≈ 16,5 cm, valor que garante que cada uma das 10 fatias tenha exatamente a mesma área de cada fatia da pizza tradicional de 8 fatias.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente R = 16,5 cm satisfaz simultaneamente as duas condições do enunciado — 10 fatias iguais E área de fatia igual à da pizza tradicional — como demonstrado pela equação π·R²/10 = π·15²/8.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente cobra área do círculo em contextos do cotidiano (pizzas, pratos, jardins circulares), exigindo que o aluno monte uma equação de proporcionalidade entre áreas e resolva para uma dimensão desconhecida (raio ou diâmetro), muitas vezes com uma aproximação numérica fornecida para facilitar a raiz.
• Generalização: sempre que um problema pedir para "manter o tamanho de uma parte" ao mudar o número de partes de uma figura, a equação correta é (área total)/(número de partes) = constante — e como área de círculo envolve r², qualquer mudança no número de fatias exige elevar ao quadrado (e depois extrair raiz), nunca uma proporção linear direta no raio ou diâmetro.
• Dica de eliminação rápida: ao ver alternativas que são o dobro (ou a metade) de outra alternativa próxima da resposta esperada — como 16,5 e 33,00 aqui — desconfie de que uma delas é o raio e a outra é o diâmetro; releia o enunciado para confirmar qual grandeza foi pedida antes de marcar.
• Conexões: temas relacionados incluem razão e proporção entre áreas de figuras semelhantes (a razão de áreas é sempre o quadrado da razão de comprimentos) e cálculo de volume/área em problemas de otimização de embalagens, ambos recorrentes no ENEM.