Questão 149 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (comprimento da circunferência) + Razões e Proporções
• ⚡ Nível: Médio — a fórmula em si é simples, mas a questão exige montar corretamente uma razão entre duas grandezas calculadas separadamente, sem inverter a ordem pedida
• 🎯 Tema/Habilidade: Comprimento da circunferência aplicado a rotação de rodas (H8/H9 — resolver situação-problema envolvendo grandezas proporcionais e medidas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a razão entre o número de voltas da roda do ciclista A e o número de voltas da roda do ciclista B."
• Palavras-chave decisivas: diâmetros, percorreu, relação entre o número de voltas
• Armadilha típica: calcular tudo certo, mas montar a razão invertida (B/A em vez de A/B) — ou comparar apenas os diâmetros das rodas, esquecendo que as distâncias percorridas por A e B também são diferentes (10 km e 5 km).
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato entende que número de voltas = distância percorrida ÷ comprimento de uma volta, e que sabe combinar corretamente essas duas informações (diâmetro e distância) na razão pedida, na ordem A : B.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Comprimento da circunferência: o perímetro de uma circunferência é dado por C = π·D, onde D é o diâmetro. Cada volta completa da roda corresponde a percorrer exatamente essa distância no chão.
• Número de voltas de uma roda: se a roda percorre uma distância total d, o número de voltas é n = d / C = d / (π·D). É uma divisão simples entre "quanto andei" e "quanto ando por volta".
• Conversão de unidades: diâmetros estão em centímetros e as distâncias em quilômetros — é indispensável converter tudo para a mesma unidade (1 km = 100.000 cm) antes de dividir.
• Razão entre grandezas: quando o enunciado pede "a relação entre X e Y", a resposta é X/Y, nessa ordem exata — inverter a ordem é um dos erros mais comuns em provas de matemática.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "rodas com diâmetros medindo 60 cm e percorreu... 10 km" (ciclista A) → fornece D_A = 60 cm e distância d_A = 10 km, os dois dados necessários para calcular n_A.
• Evidência 2: "rodas cujos diâmetros mediam 40 cm e percorreu... 5 km" (ciclista B) → fornece D_B = 40 cm e d_B = 5 km, os dados para calcular n_B.
• Evidência 3: "Considere 3,14 como aproximação para π" → sugere que será preciso um valor numérico de π, mas como a pergunta é uma razão entre duas expressões que contêm π, esse fator pode se cancelar antes mesmo da substituição numérica — um atalho que evita erros de arredondamento.
• Síntese: o caminho mais seguro é escrever as expressões algébricas de n_A e n_B, montar a razão n_A/n_B e só depois simplificar — em vez de calcular cada número de voltas isoladamente e dividir os resultados aproximados.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Converter as distâncias para centímetros

Como os diâmetros estão em cm, converte-se 1 km = 100.000 cm:

• d_A = 10 km = 10 × 100.000 cm = 1.000.000 cm
• d_B = 5 km = 5 × 100.000 cm = 500.000 cm

Subpasso 4.2 — Calcular o comprimento de uma volta de cada roda

Usando C = π·D com π ≈ 3,14:

• C_A = 3,14 × 60 = 188,4 cm
• C_B = 3,14 × 40 = 125,6 cm

Subpasso 4.3 — Calcular o número de voltas de cada roda

n = distância ÷ comprimento de uma volta:

• n_A = 1.000.000 ÷ 188,4 ≈ 5307,9 voltas
• n_B = 500.000 ÷ 125,6 ≈ 3980,9 voltas

Subpasso 4.4 — Montar a razão pedida (A para B)

n_A / n_B ≈ 5307,9 / 3980,9 ≈ 1,333... = 4/3

Subpasso 4.5 — Verificação algébrica (confirmação sem arredondamentos)

Vale a pena confirmar sem depender de aproximações decimais. Escrevendo simbolicamente:

n_A/n_B = [d_A/(π·D_A)] / [d_B/(π·D_B)] = (d_A × D_B) / (d_B × D_A)

Note que o π desaparece — ele é o mesmo fator nas duas rodas e se cancela na divisão. Substituindo:

n_A/n_B = (1.000.000 × 40) / (500.000 × 60) = 40.000.000 / 30.000.000 = 4/3

O resultado bate exatamente com o cálculo numérico do Subpasso 4.4, e mostra que o dado "π ≈ 3,14" fornecido no enunciado é, na verdade, dispensável para responder à pergunta — ele só seria necessário se a questão pedisse o número de voltas isolado de cada ciclista, não a razão entre eles.

Subpasso 4.6 — Verificação final

4/3 = 1,333... corresponde exatamente à alternativa D. A razão é maior que 1, o que faz sentido: a roda A percorre o dobro da distância de B (10 km contra 5 km), mas com um diâmetro apenas 1,5 vez maior (60 cm contra 40 cm) — logo, proporcionalmente, a roda A precisa girar mais vezes que a roda B para cobrir sua distância.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/2

❌ Incorreta: esse valor surge se o candidato ignorar completamente os diâmetros das rodas e comparar apenas as distâncias percorridas de forma invertida (d_B/d_A = 5/10 = 1/2), como se as duas bicicletas tivessem rodas idênticas. Esse raciocínio descarta metade da informação do problema.

B) 2/3

❌ Incorreta: resulta de assumir (erradamente) que as distâncias percorridas são iguais e comparar apenas os diâmetros de forma inversa (D_B/D_A = 40/60 = 2/3), esquecendo que o enunciado dá distâncias diferentes (10 km e 5 km) para cada ciclista.

C) 3/4

❌ Incorreta: é exatamente o inverso da resposta certa, ou seja, é o valor de n_B/n_A em vez de n_A/n_B. O candidato faz todos os cálculos corretamente, mas monta a razão na ordem trocada em relação ao que o comando pede ("a relação entre A e B").

D) 4/3

✅ Correta: é o valor de n_A/n_B calculado corretamente, combinando as distâncias percorridas (1.000.000 cm e 500.000 cm) com os comprimentos de cada roda (188,4 cm e 125,6 cm), como demonstrado nos Subpassos 4.1 a 4.5.

E) 3/2

❌ Incorreta: surge de assumir (erradamente) que as distâncias percorridas são iguais e comparar apenas os diâmetros na ordem direta (D_A/D_B = 60/40 = 3/2). Esse erro ignora que a roda maior, para uma mesma distância, giraria menos vezes que a menor — o candidato inverte essa lógica além de desconsiderar as distâncias diferentes.

🏆 Gabarito: D — a razão n_A/n_B = 4/3 é a única compatível simultaneamente com os diâmetros (60 cm e 40 cm) e as distâncias percorridas (10 km e 5 km) informados no enunciado, como confirmam tanto o cálculo numérico quanto a verificação algébrica.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D (4/3) resulta da combinação correta entre diâmetros e distâncias percorridas, na ordem A/B exigida pelo comando; todas as demais surgem de erros específicos de inversão ou de omissão de um dos dados.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência o comprimento da circunferência (C = π·D) aplicado a situações do cotidiano — rodas de bicicleta, pneus de carro, rodas dentadas, polias e engrenagens — quase sempre pedindo o número de voltas ou giros necessários para percorrer certa distância.
• Generalização: quando a pergunta pede uma razão entre duas grandezas calculadas por fórmulas semelhantes, escreva a expressão algébrica completa antes de substituir números. Constantes comuns (como π) frequentemente se cancelam, o que simplifica a conta e evita erros de arredondamento.
• Dica de eliminação rápida: monte mentalmente a razão como produto de duas frações — (distância de A / distância de B) × (diâmetro de B / diâmetro de A) — porque n_A/n_B = (d_A/d_B)×(D_B/D_A). Aqui isso dá 2 × (2/3) = 4/3 em segundos, sem precisar calcular nenhum número de voltas isoladamente.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a problemas de rodas dentadas e polias conectadas por correias (relação de transmissão) e a questões de razão/proporção envolvendo taxas e velocidades.