Questão 159 — ENEM 2016 PPL

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Geometria espacial → superfície lateral do cilindro e planificação
• Habilidade: H7 — identificar características de figuras planas ou espaciais
• Nível: Difícil — exige imaginar a colagem, e o erro nasce de continuar enxergando o retângulo depois que ele já virou cilindro
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: como ficam, na superfície do bumbo, os dois traços desenhados na faixa retangular depois que ela é colada em volta do instrumento.
• Palavras-chave decisivas: superfície lateral, integralmente e sem sobra, retangular.
• A armadilha: transferir o desenho plano para a frente do cilindro sem mexer em nada, mantendo Z e X de um lado e Y do outro. É o que o olho quer fazer, e é o que uma das alternativas oferece.
• O que a resposta precisa mostrar: que você entende duas consequências da colagem — as bordas verticais da faixa passam a ser a mesma linha no cilindro, e um segmento reto do plano vira uma hélice na superfície curva.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Planificação da superfície lateral do cilindro: ao cortar um cilindro reto ao longo de uma geratriz e abri-lo, obtém-se um retângulo. A base desse retângulo é o comprimento da circunferência, 2πr, e a altura é a altura h do cilindro. O caminho inverso — enrolar o retângulo — é o que a questão pede.
• Geratriz: cada segmento vertical da superfície lateral, paralelo ao eixo. Na planificação, as geratrizes são as linhas verticais do retângulo. A geratriz onde se corta é a costura.
• Colar "sem sobra": a expressão do enunciado garante que a largura da faixa é exatamente 2πr. Consequência decisiva: a borda esquerda do retângulo encosta na borda direita e as duas se tornam uma única geratriz do cilindro. Tudo que estava na borda esquerda passa a estar exatamente sobre o que estava na borda direita.
• Hélice: curva que sobe (ou desce) a uma taxa constante enquanto gira em torno do eixo. Um segmento de reta desenhado no retângulo, quando o retângulo é enrolado, vira uma hélice — porque a altura varia de forma uniforme enquanto o ponto dá a volta. Reta no plano nunca continua reta no cilindro, a não ser que seja horizontal (vira circunferência) ou vertical (vira geratriz).
• Quantas voltas dá a hélice: o segmento que atravessa o retângulo da borda esquerda até a borda direita percorre uma largura igual a 2πr, ou seja, uma volta completa em torno do bumbo.
• O que fica visível: num cilindro desenhado em perspectiva, vê-se a metade da frente. Uma hélice de uma volta aparece, portanto, em dois arcos: um saindo pela direita e outro entrando pela esquerda, com o trecho do meio escondido atrás.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: a Figura 1 é um retângulo com Z no canto superior esquerdo, X no canto inferior esquerdo e Y no ponto médio do lado direito → Z e X estão na mesma borda vertical; Y está na borda oposta, na metade da altura.
• Evidência 2: os dois segmentos traçados são ZY e XY, cada um atravessando o retângulo de uma borda vertical à outra → cada traço percorre a largura inteira, isto é, uma volta completa no bumbo.
• Evidência 3: a linha horizontal pontilhada que passa por Y é a meia-altura do retângulo → no bumbo ela vira a circunferência de meia altura, e é por isso que ela aparece pontilhada nas alternativas, indicando a parte escondida.
• Evidência 4: "suficiente para cobrir integralmente, e sem sobra" → a largura é exatamente 2πr, e as duas bordas verticais coincidem depois da colagem.
• Síntese: como Z e X estão na borda esquerda e Y na borda direita, e as duas bordas viram a mesma geratriz, os três pontos ficam na mesma linha vertical do bumbo: Z no topo, Y no meio, X embaixo. Esse é o dado que derruba a leitura ingênua.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Onde cada ponto vai parar

Chame de C = 2πr a largura da faixa e de h a altura. No retângulo:

• Z está em (0, h) — borda esquerda, no topo
• X está em (0, 0) — borda esquerda, embaixo
• Y está em (C, h ÷ 2) — borda direita, na meia altura

Ao enrolar, x = 0 e x = C correspondem à mesma geratriz. Logo, no bumbo, Z, Y e X ficam alinhados verticalmente sobre a costura: Z na borda superior, Y na altura h ÷ 2 e X na borda inferior.

4.2 — O formato de cada traço

O segmento ZY liga (0, h) a (C, h ÷ 2). Enquanto o ponto dá uma volta inteira, a altura cai de h para h ÷ 2, de forma uniforme. Isso é a definição de hélice: uma volta completa descendo meia altura. O mesmo vale para XY, que liga (0, 0) a (C, h ÷ 2): uma volta completa subindo meia altura.

Duas consequências para o desenho:

• nenhum dos dois traços pode aparecer como reta na superfície do bumbo
• cada um deles cruza a costura só nas pontas, e não no meio do caminho

4.3 — Como isso aparece na perspectiva

Acompanhe a hélice ZY a partir de Z, que está na frente. Girando, ela desce e some pela silhueta direita; percorre o fundo, escondida; reaparece pela silhueta esquerda, mais abaixo do que sumiu; e continua descendo até chegar a Y, de novo na frente. Resultado: dois arcos visíveis, e o da esquerda começa mais baixo do que o da direita terminou, porque a hélice não para de descer enquanto contorna o bumbo.

A hélice XY faz o simétrico: sai de X embaixo, na frente, sobe e some pela direita, reaparece pela esquerda mais alto e chega a Y.

4.4 — Verificação

A figura procurada precisa mostrar, ao mesmo tempo: a costura vertical com Z, Y e X alinhados; quatro arcos ao todo, dois por hélice; e alturas encadeadas, com cada arco continuando a descida ou a subida do anterior. Só uma alternativa reúne as três coisas. Gabarito: A.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

✅ (A) costura vertical com Z, Y e X alinhados e dois traços em hélice, cada um dando uma volta completa — Reproduz as duas consequências da colagem. Os três pontos aparecem sobre a mesma geratriz, porque as bordas esquerda e direita da faixa viraram a mesma linha. E cada traço aparece em dois arcos que se encadeiam: o que sai de Z pela direita reaparece pela esquerda mais abaixo, seguindo a descida, e chega a Y; o que sai de X faz o percurso simétrico subindo. É o comportamento de uma hélice de uma volta.

❌ (B) costura correta, mas os arcos não se encadeiam em altura — Acerta a parte difícil, que é alinhar Z, Y e X na costura, e por isso é o distrator mais forte. O defeito está no traçado: o arco que chega a Y pela esquerda começa colado ao topo, na mesma altura de Z, ou seja, mais alto do que o ponto em que o traço havia sumido pela direita. Um segmento reto da faixa desce de forma contínua enquanto contorna o bumbo; ele não pode reaparecer acima de onde sumiu. As duas metades desenhadas não são o mesmo traço.

❌ (C) costura correta, mas cada traço dá apenas meia volta — Também alinha os três pontos, e falha na extensão do percurso. Os traços vão de Z até Y passando só pela metade visível e de Y até X pela outra metade, sem contornar o bumbo inteiro. Isso corresponderia a uma faixa com metade da largura necessária, o que contradiz "cobrir integralmente e sem sobra": a faixa tem largura 2πr e cada segmento atravessa essa largura toda.

❌ (D) Z e X à esquerda, Y à direita, sem costura visível — É a transposição literal do desenho plano. Mantém a aparência do retângulo da Figura 1, com os dois pontos de um lado e o terceiro do outro, e cada traço cobrindo só meia volta. Ignora justamente o que a colagem faz: aproximar as duas bordas verticais até que virem a mesma linha. Enquanto a faixa está aberta, Z e Y estão nas extremidades opostas; depois de colada, estão na mesma geratriz.

❌ (E) costura correta, mas os arcos se encontram em alturas incompatíveis — Coloca Z, Y e X na costura e desenha quatro arcos, o que aproxima muito da resposta. O problema é o ritmo da descida: o traço que sai de Z já cai até quase a meia altura do bumbo no primeiro quarto de volta e, do outro lado, recomeça junto ao topo. Uma hélice desce em taxa constante — um quarto de volta corresponde a um quarto da queda. Os arcos desenhados não podem pertencer a um mesmo segmento reto da faixa.

Gabarito: A — a colagem sem sobra põe Z, Y e X sobre a mesma geratriz, e cada segmento reto da faixa vira uma hélice de exatamente uma volta em torno do bumbo.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só A se sustenta: D ainda enxerga o retângulo; C encurta o percurso pela metade; B e E desenham hélices que não descem de forma contínua. A é a única compatível com "uma volta completa, descendo sempre".
• Como o ENEM cobra isso: planificação e reconstrução de sólidos é presença fixa, e o cilindro costuma vir disfarçado em contexto concreto — rótulo de lata, faixa decorativa, adesivo de tambor, fita em torno de um cano. A pergunta é sempre o que acontece com um desenho reto quando a superfície deixa de ser plana.
• A regra geral: enrolar preserva comprimentos e ângulos medidos sobre a superfície, mas não preserva o aspecto reto visto de fora. Reta oblíqua no plano vira hélice; reta horizontal vira circunferência; reta vertical vira geratriz. E as bordas que se encostam viram uma linha só.
• Eliminação em 30 segundos: procure primeiro onde estão Z, Y e X. Se Y estiver em um lado e Z e X no outro, a alternativa não entendeu a colagem e cai na hora. Depois conte as voltas: cada traço tem de contornar o bumbo inteiro, e não meia volta.
• Temas que costumam vir junto: área lateral do cilindro 2πrh, comprimento da circunferência, hélice e o triângulo retângulo que aparece quando se desenrola a superfície, e planificação de cone e de prisma.