Questão 170 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria espacial: área lateral da pirâmide regular + Teorema de Pitágoras
• ⚡ Nível: Médio — a conta é curta, mas exige saber a diferença entre apótema da pirâmide e aresta lateral.
• 🎯 Tema/Habilidade: Área da superfície de sólidos; expressar uma medida geométrica em função de variáveis (álgebra + geometria).
• 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a expressão da área dos 4 triângulos que formam a cobertura da tenda, em função da base y e da altura x da haste?"
• Palavras-chave decisivas: pirâmide de base quadrada, quatro triângulos isósceles de base y, haste de medida x, área da superfície da cobertura.
• Armadilha típica: usar a aresta lateral (a "quina" da pirâmide) no lugar do apótema (a altura de cada triângulo da face). São coisas diferentes — e trocá-las produz exatamente uma das alternativas erradas.
• O que a resposta precisa demonstrar: que você monta o triângulo retângulo certo — o que tem catetos x (a haste) e y/2 (metade do lado da base) — e sabe que a lona cobre apenas as 4 faces laterais.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Pirâmide regular de base quadrada: a haste vai do vértice (topo) até o centro da base, perpendicularmente. Essa haste é a altura x da pirâmide.
• Apótema da pirâmide (g): é a altura de cada face triangular, medida do topo até o ponto médio de um lado da base. É a medida que entra no cálculo da área de cada face.
• O triângulo retângulo-chave: ele une o topo, o centro da base e o ponto médio de um lado da base. Catetos: x (altura) e y/2 (apótema da base, metade do lado do quadrado). Hipotenusa: g (apótema da pirâmide). Logo g = √(x² + (y/2)²) = √(x² + y²/4).
• Área do triângulo: A = (base × altura) ÷ 2 = (y · g)/2. A cobertura tem 4 faces iguais.
• Cuidado: a aresta lateral (topo até um vértice da base) é maior: ela usa a metade da diagonal (y√2/2), dando √(x² + y²/2). Não é ela que aparece na área.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "formada usando quatro triângulos isósceles de base y" → a área é 4 vezes a área de um triângulo de base y. A base do quadrado (o chão) não entra: é uma cobertura, não uma caixa fechada.
• Evidência 2: "A sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida x" → a figura mostra a haste vertical, ligando o topo ao centro da base: x é a altura da pirâmide, não a aresta lateral nem o apótema.
• Evidência 3: "deve-se calcular a área da superfície da cobertura" → só a lona: as 4 faces laterais.
• Síntese: área = 4 × (y · g)/2 = 2·y·g, com g obtido por Pitágoras a partir de x e y/2.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Achar o apótema da pirâmide (a altura de cada face)

O triângulo retângulo formado pela haste, pelo segmento que vai do centro da base até o meio de um lado, e pelo apótema:

• cateto 1 = x (altura da pirâmide / haste)
• cateto 2 = y/2 (do centro do quadrado até o meio de um lado — metade do lado)
• hipotenusa = g (apótema da pirâmide)

Por Pitágoras:

g² = x² + (y/2)²

g² = x² + y²/4

g = √(x² + y²⁄4)

Subpasso 4.2 — Área de uma face e da cobertura inteira

Cada face é um triângulo isósceles de base y e altura g:

A_face = (y · g) ÷ 2

São 4 faces:

A_total = 4 × (y · g)/2 = 2·y·g

Substituindo g:

A_total = 2y·√(x² + y²⁄4)

Subpasso 4.3 — Verificação (teste de coerência)

1. Dimensão: a expressão tem "comprimento × comprimento" (y multiplicando uma raiz que é um comprimento) → resulta em área ✔. Já expressões como 4√(x² + y²/4) têm dimensão de comprimento, não de área — não podem ser resposta.
2. Caso particular: se a tenda for bem baixinha (x → 0), a cobertura "achata" sobre a base e sua área deve tender à área do quadrado, y². Testando: 2y·√(0 + y²/4) = 2y · (y/2) = y² ✔ perfeito.

A expressão 2y√(x² + y²/4) é exatamente a alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2y√(x² + y²/4)

✅ Correta: usa o apótema g = √(x² + (y/2)²) = √(x² + y²/4) — o triângulo retângulo formado pela haste x e pela metade do lado da base — e monta a área 4 · (y·g)/2 = 2y·g. Passa no teste do caso-limite (x → 0 dá y², a área da base).

B) 2y√(x² + y²/2)

❌ Incorreta: troca o apótema pela aresta lateral. O termo y²/2 vem de (y√2/2)², ou seja, da metade da diagonal da base — a distância do centro até um vértice, não até o meio do lado. A altura da face triangular parte do meio do lado; usar a aresta superestima a área.

C) 4y√(x² + y²)

❌ Incorreta: acumula dois erros: esquece de dividir y por 2 (usa o lado inteiro em vez da metade dentro da raiz) e esquece o fator 1/2 da área do triângulo (multiplica por 4y em vez de 2y). O resultado superestima grosseiramente a lona necessária.

D) 4√(x² + y²/4)

❌ Incorreta: o radical está certo (é o apótema g), mas some com o fator y, a base dos triângulos. Sem ele, a expressão tem unidade de comprimento, não de área — é impossível que represente a quantidade de lona.

E) 4√(x² + y²/2)

❌ Incorreta: erra duas vezes: usa a aresta lateral (y²/2, que vem da meia-diagonal) no lugar do apótema e perde o fator y da base. Assim como a D, sequer tem dimensão de área.

🏆 Gabarito: A — cada face é um triângulo de base y e altura √(x² + y²/4); as quatro juntas somam 4 · y·√(x² + y²/4)/2 = 2y√(x² + y²/4).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a lona são 4 triângulos; a altura de cada um é o apótema, que vem do triângulo retângulo de catetos x e y/2. Só a alternativa A reúne as duas coisas.
• Padrão de cobrança: tendas, barracas, telhados e pirâmides de vidro são o disfarce favorito do ENEM para cobrar área lateral de pirâmide regular. A pergunta quase sempre vem "em função de" duas letras.
• Generalização: numa pirâmide regular de base quadrada de lado ℓ e altura h → apótema g = √(h² + (ℓ/2)²) e área lateral = 2·ℓ·g. Se pedirem a aresta lateral, aí sim entra a meia-diagonal: a = √(h² + (ℓ√2/2)²).
• Dica de eliminação rápida: faça a análise dimensional. Área precisa ter grau 2. As alternativas D e E têm grau 1 (falta o y multiplicando) → caem em 5 segundos. Depois, lembre que dentro da raiz vai y²/4 (metade do lado ao quadrado), o que elimina B e C.
• Conexões: Teorema de Pitágoras, área lateral de prismas e cones, e volume da pirâmide (V = A_base · h ÷ 3).