Questão 139 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área do quadrado) e Grandezas Proporcionais
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo em si é simples, mas exige perceber que dobrar o lado do quadrado quadruplica a área, e não apenas dobra.
• 🎯 Tema/Habilidade: Proporcionalidade entre grandezas (relação quadrática entre lado e área) aplicada a um problema contextualizado de engenharia hidráulica.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Se a galeria reformada, com lado dobrado, escoa 400 m³/s, qual era a vazão máxima da galeria antiga, mantendo-se a mesma velocidade da água?"
• Palavras-chave decisivas: lado igual ao dobro, vazão, velocidade não se alterou
• Armadilha típica: tratar a relação entre lado e vazão como linear, dividindo 400 por 2 e chegando a 200 m³/s. Isso ignora que a vazão depende da área da seção, e área de quadrado cresce com o quadrado do lado — dobrar o lado multiplica a área (e a vazão, para velocidade constante) por 4, não por 2.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a variação de uma grandeza linear (lado) em variação de uma grandeza de área, isolar a velocidade a partir dos dados da galeria nova e reaplicá-la à geometria antiga para obter a vazão original.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do quadrado: A = l², em que l é a medida do lado. Se o lado é multiplicado por um fator k, a área é multiplicada por k².
• Vazão volumétrica: V = A × v, onde A é a área da seção transversal por onde o fluido passa e v é a velocidade do fluido. É o produto de uma grandeza de área por uma grandeza de velocidade.
• Proporcionalidade quadrática (armadilha central da questão): enquanto o lado varia linearmente (fator 2), a área — e, por consequência, a vazão, se a velocidade é fixa — varia com o quadrado desse fator (fator 4). Confundir essas duas taxas de crescimento é o erro mais comum em questões desse tipo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "seção transversal na forma de um quadrado de lado 2 m" → define a área da galeria antiga: A₁ = 2² = 4 m².
• Evidência 2: "seções quadradas de lado igual ao dobro das anteriores, permitindo uma vazão de 400 m³/s" → o novo lado é 2 × 2 = 4 m, logo a área nova é A₂ = 4² = 16 m², associada à vazão V₂ = 400 m³/s.
• Evidência 3: "Supondo que a velocidade da água não se alterou" → a velocidade v é a mesma nas duas situações, o que permite calculá-la a partir dos dados da galeria reformada e depois transportá-la para a galeria antiga.
• Síntese: de posse de A₂ e V₂, isola-se v; com v conhecido e A₁ calculado a partir do lado original, obtém-se diretamente V₁, que é exatamente o que o enunciado pede.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área da seção antes da reforma

O lado original é 2 m, então:

A₁ = l² = 2² = 4 m²

Subpasso 4.2 — Área da seção depois da reforma

O novo lado é o dobro do original:

l₂ = 2 × 2 = 4 m

A₂ = l₂² = 4² = 16 m²

Note que a área quadruplicou (de 4 m² para 16 m²), embora o lado tenha apenas dobrado — essa é a relação-chave da questão.

Subpasso 4.3 — Cálculo da velocidade da água, usando os dados da galeria nova

Pela definição de vazão, V = A × v. Substituindo os valores da galeria reformada:

400 = 16 × v

v = 400 ÷ 16 = 25 m/s

Subpasso 4.4 — Cálculo da vazão máxima antes da reforma

Como a velocidade não se altera, aplica-se o mesmo v = 25 m/s à área antiga A₁ = 4 m²:

V₁ = A₁ × v = 4 × 25 = 100 m³/s

Subpasso 4.5 — Verificação por razão de proporcionalidade

Como A₂/A₁ = 16/4 = 4 = (l₂/l₁)² = 2² = 4, a razão entre as vazões deve seguir a mesma proporção (pois v é constante):

V₂/V₁ = 4 ⟹ 400/V₁ = 4 ⟹ V₁ = 100 m³/s

O resultado bate exatamente com o cálculo direto, confirmando que a vazão máxima antes da reforma era 100 m³/s, valor presente entre as alternativas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 25 m³/s

❌ Incorreta: 25 é o valor numérico da velocidade da água (v = 25 m/s), calculado no Subpasso 4.3. Quem confunde essa grandeza intermediária com a resposta final (a vazão antiga) cai nessa alternativa por não completar o raciocínio até o Subpasso 4.4.

B) 50 m³/s

❌ Incorreta: corresponde a dividir 400 por 8, ou a considerar erroneamente que a área varia com um fator "2 vezes o lado, mas contado só uma vez e meia" — não há justificativa geométrica consistente para esse valor; surge de erro aritmético ao tentar aplicar proporcionalidade parcialmente.

C) 100 m³/s

✅ Correta: é o resultado exato de V₁ = A₁ × v = 4 × 25 = 100 m³/s, confirmado também pela razão de proporcionalidade entre as áreas (fator 4). Reflete corretamente que dobrar o lado do quadrado quadruplica a área e, mantida a velocidade, quadruplica a vazão.

D) 200 m³/s

❌ Incorreta: é a armadilha mais forte da questão — resulta de dividir 400 por 2, tratando a relação entre lado e vazão como linear (se o lado dobrou, a vazão teria dobrado). Esse raciocínio ignora que a área de um quadrado cresce com o quadrado do lado, não linearmente com ele.

E) 300 m³/s

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma operação matematicamente coerente com os dados do problema (nem 400 ÷ k para um k geometricamente sensato, nem 4 × 25 corretamente calculado); funciona como distrator para quem erra a conta sem seguir um raciocínio proporcional consistente.

🏆 Gabarito: C — a vazão máxima antes da reforma era 100 m³/s, pois a área da seção quadrada quadruplica quando o lado dobra, e a velocidade da água permaneceu constante entre as duas situações.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa C (100 m³/s) resulta de aplicar corretamente V = A × v tanto para a galeria nova (encontrar v = 25 m/s) quanto para a galeria antiga (A₁ = 4 m²), respeitando que a área do quadrado é proporcional ao quadrado do lado.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente contextualiza a relação entre uma medida linear (lado, raio, altura) e uma grandeza de área ou volume derivada dela, testando se o estudante aplica corretamente o expoente correspondente (² para área, ³ para volume) em vez de assumir proporcionalidade direta e simples.
• Generalização: sempre que um enunciado disser que uma dimensão linear "dobrou", "triplicou" etc., verifique se a grandeza pedida depende dessa dimensão elevada ao quadrado (área) ou ao cubo (volume) — o fator de variação da grandeza final é o fator linear elevado a essa potência, não o fator linear em si.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o fator de crescimento da área (aqui, 2² = 4) e desconfie imediatamente de qualquer alternativa que resulte de dividir a vazão nova apenas pelo fator linear (400 ÷ 2 = 200, alternativa D) — esse é o erro mais comum e pode ser descartado assim que a área quadrática é identificada.
• Conexões: temas próximos incluem escala de figuras semelhantes (razão de áreas = razão de semelhança ao quadrado, razão de volumes ao cubo) e problemas de vazão/fluxo em tubulações cilíndricas, onde a mesma lógica se aplica trocando o quadrado pela área do círculo (A = πr²).