Questão 162 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas do círculo e do quadrado inscrito)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar duas fórmulas de área (círculo e quadrado inscrito) e depois transformar a área em quantidade de sacos, num raciocínio de várias etapas encadeadas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de área de regiões planas compostas (subtração de áreas) aplicado a um problema contextualizado — competência de resolver situações-problema que envolvem grandezas geométricas e proporcionalidade.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos sacos de 15 kg são necessários para cobrir, com terra vegetal, a região do jardim que fica dentro do círculo mas fora do quadrado inscrito?"
• Palavras-chave decisivas: quadrado inscrito na circunferência, entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, 15 kg de terra para cada m², sacos de exatos 15 kg
• Armadilha típica: confundir qual região recebe terra vegetal — o quadrado é destinado às pedras ornamentais, e é a coroa (círculo menos quadrado) que recebe a terra. Outro erro comum é calcular mal a diagonal do quadrado inscrito, tratando-a como se fosse igual ao raio, ou confundir raio com diâmetro.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de calcular a área do círculo, a área do quadrado inscrito nele, subtrair as duas corretamente e converter o resultado em número de sacos, sem erro de identificação de qual parte é qual.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do círculo: A = π·r², onde r é o raio. Como o diâmetro é dado (20 m), o raio é a metade: r = 10 m.
• Quadrado inscrito em uma circunferência: todos os seus vértices tocam a circunferência, e sua diagonal coincide exatamente com o diâmetro do círculo. Isso permite calcular o lado por Pitágoras (lado² + lado² = diagonal²) e, portanto, a área diretamente em função da diagonal: A = d²/2.
• Área de região composta: quando uma figura é "recortada" de outra (aqui, o quadrado é removido de dentro do círculo), a área da parte restante é obtida por subtração: A_resto = A_maior − A_menor.
• Conversão massa ↔ quantidade de embalagens: se cada m² exige uma certa massa de material e cada embalagem comporta uma massa fixa, o número de embalagens é (área × massa por m²) ÷ massa por embalagem, sempre arredondando para cima quando o resultado não for exato (aqui a divisão dá exata).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "jardim circular de 20 m de diâmetro" → o raio do jardim é 10 m; a área total do círculo pode ser calculada com π = 3, conforme instruído.
• Evidência 2: "quadrado inscrito na circunferência" → a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo (20 m), e não ao raio — esse é o ponto que mais gera confusão na questão.
• Evidência 3: "parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado... será colocada terra vegetal" → a área a calcular é exatamente A_círculo − A_quadrado (a "coroa" entre as duas figuras), e não a área do quadrado (que leva pedras ornamentais).
• Síntese: o caminho é: (1) achar a área do círculo com r = 10 e π = 3; (2) achar a área do quadrado inscrito usando a diagonal de 20 m; (3) subtrair; (4) multiplicar a área resultante por 15 kg/m²; (5) dividir por 15 kg/saco para obter o número mínimo de sacos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área do círculo (jardim completo)

O diâmetro do jardim é 20 m, logo o raio é r = 10 m. Usando π ≈ 3:

A_círculo = π · r² = 3 × 10² = 3 × 100 = 300 m²

Subpasso 4.2 — Área do quadrado inscrito

A diagonal do quadrado inscrito coincide com o diâmetro do círculo, logo d = 20 m. Chamando o lado do quadrado de L, pelo Teorema de Pitágoras: L² + L² = d² → 2L² = d² → L² = d²/2.

Como a área do quadrado é justamente A_quadrado = L², temos diretamente:

A_quadrado = d²/2 = 20²/2 = 400/2 = 200 m²

Subpasso 4.3 — Área da região com terra vegetal

A parte que recebe terra vegetal é o círculo menos o quadrado (a coroa entre o contorno da circunferência e o lado externo do quadrado):

A_terra = A_círculo − A_quadrado = 300 − 200 = 100 m²

Subpasso 4.4 — Massa total de terra necessária

Cada m² exige 15 kg de terra vegetal:

Massa = 100 m² × 15 kg/m² = 1 500 kg

Subpasso 4.5 — Número de sacos

Cada saco contém exatos 15 kg:

Nº de sacos = 1 500 kg ÷ 15 kg/saco = 100 sacos

Verificação: 100 sacos × 15 kg = 1 500 kg, que é exatamente a massa calculada para cobrir os 100 m² a 15 kg/m². A divisão é exata (não sobra resto), então 100 já é o número mínimo suficiente — não é preciso arredondar para cima. O valor 100 aparece entre as alternativas, confirmando o caminho.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 100.

✅ Correta: é exatamente o resultado da sequência correta — área do círculo (300 m²) menos área do quadrado inscrito (200 m²) resulta em 100 m² de terra vegetal, que exigem 1 500 kg, ou seja, 100 sacos de 15 kg.

B) 140.

❌ Incorreta: costuma surgir de uma aproximação grosseira ao obter o lado do quadrado a partir da diagonal (por exemplo, usando um valor arredondado para √2 em vez de aplicar Pitágoras com precisão). Isso distorce a área do quadrado inscrito e, consequentemente, altera a área da coroa circular calculada, afastando o resultado do valor correto.

C) 200.

❌ Incorreta: é o valor da área do próprio quadrado (200 m²), não da região de terra vegetal. Esse erro ocorre quando o candidato troca as regiões — pensa que é o quadrado que recebe a terra vegetal (quando na verdade ele recebe as pedras ornamentais) e calcula sacos para cobrir 200 m² em vez dos 100 m² corretos da coroa externa ao quadrado.

D) 800.

❌ Incorreta: surge do clássico erro de confundir diâmetro com raio. Se o candidato trata os 20 m informados como se fossem o raio (em vez do diâmetro), a diagonal do quadrado passaria a ser 40 m, e a área do quadrado calculada (incorretamente) seria 40²/2 = 800 m². Reportar esse valor sem perceber que um quadrado assim seria maior que o próprio jardim revela a falha conceitual.

E) 1 000.

❌ Incorreta: também nasce da confusão entre raio e diâmetro, mas aplicada apenas ao cálculo da área do círculo — usar r = 20 m (em vez de r = 10 m) gera A_círculo = 3 × 20² = 1 200 m². Subtraindo então (corretamente) a área do quadrado de 200 m², chega-se a 1 000 m², e por consequência a 1 000 sacos — um valor dez vezes maior que o correto.

🏆 Gabarito: A — a área de terra vegetal é 100 m² (300 m² do círculo menos 200 m² do quadrado inscrito), o que exige 1 500 kg de terra, ou seja, exatamente 100 sacos de 15 kg.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é a única compatível com a subtração correta das áreas (círculo − quadrado inscrito) seguida da conversão correta massa/embalagem; qualquer outro valor exige um erro de raio/diâmetro, de identificação de região ou de cálculo da diagonal.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente combina figuras planas inscritas ou circunscritas (círculo e quadrado, círculo e triângulo, quadrado e círculo) pedindo a área da região "sobrando" entre elas, quase sempre embutida em um contexto prático (jardins, piscinas, terrenos, embalagens).
• Generalização: sempre que um polígono estiver inscrito em uma circunferência, procure a relação direta entre o diâmetro e uma medida do polígono (diagonal do quadrado = diâmetro; lado do triângulo equilátero relaciona-se ao raio por fórmula própria) antes de calcular áreas — isso evita ter que descobrir o lado por conta própria.
• Dica de eliminação rápida: ao ver alternativas que são múltiplos ou frações redondas entre si (100, 200, 800, 1000), suspeite de erros de raio×2 (dobrar ou não dobrar uma medida) — geralmente a resposta correta é a que resulta de usar o raio metade do diâmetro fornecido, nunca o valor bruto do diâmetro como se fosse raio.
• Conexões: revise também "áreas de setores e coroas circulares" e "polígonos regulares inscritos e circunscritos", temas que aparecem com frequência similar em outras edições do ENEM.