Questão 155 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões (sequências numéricas) — Progressão Geométrica aplicada a contexto financeiro
• ⚡ Nível: Médio — exige reconhecer que "20% a mais que o mês anterior" gera uma razão constante e somar corretamente os seis termos dessa progressão, sem confundi-la com crescimento linear
• 🎯 Tema/Habilidade: Progressão Geométrica financeira (soma dos n primeiros termos) — competência de resolver situações-problema envolvendo sequências numéricas em contextos do cotidiano
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule o total guardado de janeiro a junho, sabendo que o valor de janeiro é R$ 300,00 e cada mês seguinte é 20% maior que o mês imediatamente anterior."
• Palavras-chave decisivas: 20% a mais do que no mês anterior, a partir de fevereiro, primeiro semestre
• Armadilha típica: interpretar "20% a mais" como um valor fixo somado todo mês (crescimento linear, típico de Progressão Aritmética) em vez de um crescimento percentual sobre o mês anterior; ou errar a contagem dos meses, incluindo julho — mês em que a viagem acontece, mas que não entra na soma dos depósitos.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificação correta da razão da progressão geométrica (q = 1,2), aplicação da fórmula de soma para exatamente 6 termos (janeiro a junho) e o truncamento das casas decimais conforme pedido no enunciado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Geométrica (PG): sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante q. Quando o enunciado diz "X% a mais que o anterior", a razão é sempre q = 1 + X/100.
• Termo geral da PG: aₙ = a₁ · q^(n-1). Permite calcular o valor guardado em qualquer mês a partir do valor de janeiro.
• Soma dos n primeiros termos de uma PG: Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1)/(q - 1). É a ferramenta que evita somar mês a mês manualmente.
• PG × PA: a diferença crucial é que, na PG, o crescimento incide sobre o último valor guardado, e não sobre um valor fixo; por isso o crescimento é cada vez maior em reais, mesmo mantendo a mesma taxa percentual (20%).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "em janeiro, guardariam R$ 300,00" → define o primeiro termo, a₁ = 300.
• Evidência 2: "a partir de fevereiro, guardariam, a cada mês, 20% a mais do que no mês anterior" → define a razão constante q = 1,2 e deixa claro que a comparação é sempre com o mês imediatamente anterior, o que caracteriza uma progressão geométrica (não aritmética).
• Evidência 3: "total economizado no primeiro semestre" → delimita exatamente 6 termos: janeiro, fevereiro, março, abril, maio e junho. Julho é apenas o destino do dinheiro (mês da viagem), não um mês de depósito.
• Síntese: o problema se resolve identificando a PG (a₁ = 300, q = 1,2) e somando seus 6 primeiros termos com a fórmula de soma de PG finita, truncando as casas decimais do resultado final, como pede o enunciado.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando a progressão geométrica

Cada depósito é 1,2 vezes o anterior:

• Jan: a₁ = 300,00
• Fev: a₂ = 300 × 1,2 = 360,00
• Mar: a₃ = 360 × 1,2 = 432,00
• Abr: a₄ = 432 × 1,2 = 518,40
• Mai: a₅ = 518,4 × 1,2 = 622,08
• Jun: a₆ = 622,08 × 1,2 = 746,496

Subpasso 4.2 — Aplicando a fórmula da soma de PG

S₆ = a₁ · (q⁶ - 1)/(q - 1) = 300 · (1,2⁶ - 1)/(1,2 - 1)

Calculando as potências de 1,2:

1,2² = 1,44 → 1,2³ = 1,728 → 1,2⁴ = 2,0736 → 1,2⁵ = 2,48832 → 1,2⁶ = 2,985984

Substituindo:

S₆ = 300 · (2,985984 - 1)/0,2 = 300 · 1,985984/0,2 = 300 × 9,92992 = 2978,976

Subpasso 4.3 — Verificação e arredondamento

Somando os seis valores mês a mês (Subpasso 4.1) como conferência:

300 + 360 + 432 + 518,4 + 622,08 + 746,496 = 2978,976 ✓ (confirma a fórmula)

O enunciado pede para "abandonar, por arredondamento, possíveis casas decimais", ou seja, truncar a parte decimal ",976" sem arredondar para cima:

R$ 2978,976 → R$ 2.978,00

Esse valor corresponde exatamente à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R$ 1.800,00

❌ Incorreta: é o resultado de 300 × 6, isto é, trata o valor guardado como constante ao longo dos 6 meses, ignorando por completo o crescimento de 20% ao mês descrito a partir de fevereiro. É o erro de quem lê apenas "R$ 300,00 por mês" e não processa a condição de aumento mensal.

B) R$ 2.100,00

❌ Incorreta: é o resultado de 300 × 7. Mantém o mesmo erro de valor fixo (sem aplicar os 20%) e ainda soma um mês a mais do que deveria — provavelmente por associar o mês de julho (citado no enunciado como o mês da viagem) a um sétimo depósito, quando na verdade julho é apenas o destino do dinheiro guardado, e não um mês de contribuição.

C) R$ 2.160,00

❌ Incorreta: é o resultado de 1.800 × 1,2. Aqui o candidato até soma corretamente os 6 valores fixos (chegando a R$ 1.800,00), mas aplica o acréscimo de 20% uma única vez sobre o total final, em vez de aplicá-lo termo a termo, mês a mês. Esse erro desconsidera a natureza composta da progressão geométrica: o crescimento percentual precisa incidir sucessivamente sobre cada novo valor, não apenas no fim do processo.

D) R$ 2.978,00 ✅ Correta

Corresponde exatamente à soma dos 6 termos da PG de razão 1,2, calculada no Passo 4 (S₆ = 2978,976, truncada para 2.978,00). É o único valor que respeita simultaneamente o crescimento percentual composto mês a mês e a contagem correta dos 6 meses do primeiro semestre (janeiro a junho).

E) R$ 3.874,00

❌ Incorreta: é a soma correta de uma PG de razão 1,2, porém estendida a 7 termos — incluindo um depósito hipotético de julho (a₇ = 746,496 × 1,2 ≈ 895,80), o que dá S₇ ≈ 3874,77 → 3874. É o erro de quem entende corretamente o crescimento geométrico, mas conta um mês além do primeiro semestre, confundindo o mês da viagem com um mês de depósito.

🏆 Gabarito: D — a soma dos 6 primeiros termos de uma PG de razão 1,2 e primeiro termo R$ 300,00 resulta em R$ 2.978,976, que, truncado conforme pedido no enunciado, é R$ 2.978,00: o único valor que reflete corretamente o crescimento percentual composto mês a mês junto com a contagem exata do primeiro semestre.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa D combina a razão geométrica correta (q = 1,2) com a contagem correta de 6 meses; qualquer desvio — crescimento linear, aplicação do percentual só no total, ou soma de 7 meses — leva a um dos outros valores, nunca a R$ 2.978,00.
• Padrão de cobrança: progressões geométricas aplicadas a contextos financeiros (poupança mensal, juros compostos, valorização de bens) são um tema recorrente no ENEM, quase sempre pedindo a soma dos n primeiros termos a partir de uma "porcentagem a mais/a menos" descrita no enunciado.
• Generalização: sempre que o texto disser "X% a mais (ou a menos) que o termo anterior", a razão da PG é q = 1 + X/100 (crescimento) ou q = 1 - X/100 (decréscimo), e a soma dos n primeiros termos usa Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1).
• Dica de eliminação rápida: primeiro confira o número exato de termos pedidos (aqui, 6 meses = janeiro a junho) — isso já elimina alternativas com contagem errada de meses (B e E). Depois, verifique se o crescimento foi aplicado termo a termo, e não uma única vez sobre o total (elimina C). Por fim, distinga crescimento percentual de valor fixo (elimina A).
• Conexões: juros compostos (mesma lógica de multiplicação sucessiva por uma razão), Progressão Aritmética (para contraste com o crescimento linear) e Matemática Financeira em geral.