Questão 160 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função afim (crescimento linear) e leitura de gráficos
• ⚡ Nível: Médio — a conta é curta, mas exige cuidado ao contar os intervalos de tempo, não os anos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Taxa de variação constante; extrapolar um comportamento linear para prever um valor futuro.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Mantendo a mesma taxa anual de crescimento observada entre 2007 e 2011, qual seria o percentual de brasileiros conectados em 2013?"
• Palavras-chave decisivas: mesma taxa de crescimento, período 2007-2011, estimativa para 2013.
• Armadilha típica: dividir o crescimento por 5 (número de anos citados: 2007, 2008, 2009, 2010, 2011) em vez de por 4 (número de intervalos entre eles). E, na hora de projetar, avançar 3 anos em vez de 2.
• O que a resposta precisa demonstrar: que você sabe calcular a taxa média de variação de uma reta e aplicá-la para prolongá-la.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Crescimento linear (função afim): quando a taxa é constante, o gráfico é uma reta e vale f(t) = f(t₀) + m·(t − t₀), com m = taxa de variação.
• Taxa de variação (coeficiente angular): m = (variação da grandeza) ÷ (variação do tempo) = Δy ÷ Δt. É "quanto sobe por ano".
• Contagem de intervalos: de 2007 a 2011 há 4 intervalos de 1 ano (2007→2008, 2008→2009, 2009→2010, 2010→2011), embora sejam 5 anos citados. O denominador é sempre a diferença entre as datas: 2011 − 2007 = 4.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (gráfico): o ponto de 2007 está na altura 27% e o de 2011, na altura 48%, ligados por um segmento de reta. → O crescimento no período é tratado como linear.
• Evidência 2: "Suponha que foi mantida, para os anos seguintes, a mesma taxa de crescimento registrada no período 2007-2011." → A mesma reta deve ser prolongada; não há aceleração nem juros compostos.
• Síntese: calcular a inclinação da reta 2007→2011 e caminhar com ela mais 2 anos (2011 → 2012 → 2013).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a taxa anual de crescimento

Do gráfico: em 2007, 27% da população; em 2011, 48%.

Variação total: Δy = 48 − 27 = 21 pontos percentuais

Intervalo de tempo: Δt = 2011 − 2007 = 4 anos

m = Δy ÷ Δt = 21 ÷ 4 = 5,25 pontos percentuais por ano

Subpasso 4.2 — Projetar até 2013

De 2011 até 2013 são 2013 − 2011 = 2 anos.

f(2013) = f(2011) + m × 2

f(2013) = 48 + 5,25 × 2

f(2013) = 48 + 10,5 = 58,5%

Subpasso 4.3 — Verificação

Pela lei da reta, tomando 2007 como referência: f(t) = 27 + 5,25 × (t − 2007).

Para t = 2013: f = 27 + 5,25 × 6 = 27 + 31,5 = 58,5% ✔ — mesmo resultado, o que confirma a inclinação.

Faz sentido: em 2012 teríamos 53,25% e em 2013, 58,5%. O valor 58,50% aparece na alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 56,40%.

❌ Incorreta: vem de dividir os 21 pontos por 5 (contando os anos 2007, 2008, 2009, 2010 e 2011) em vez de pelos 4 intervalos: 21 ÷ 5 = 4,2 e 48 + 2 × 4,2 = 56,4. A taxa é medida pela diferença entre as datas (2011 − 2007 = 4), não pela quantidade de anos listados.

B) 58,50%.

✅ Correta: taxa de (48 − 27)/(2011 − 2007) = 21/4 = 5,25 pontos por ano; avançando 2 anos a partir de 2011: 48 + 2 × 5,25 = 58,5%. É exatamente o prolongamento da reta do gráfico.

C) 60,60%.

❌ Incorreta: exigiria uma taxa de (60,60 − 48)/2 = 6,3 pontos por ano, maior que os 5,25 registrados. Ou seja, supõe um crescimento mais rápido do que o do período 2007-2011, contrariando o enunciado.

D) 63,75%.

❌ Incorreta: usa a taxa correta (5,25), mas projeta 3 anos em vez de 2: 48 + 3 × 5,25 = 63,75. Esse seria o percentual estimado para 2014, não para 2013.

E) 72,00%.

❌ Incorreta: corresponde a somar 24 pontos percentuais em apenas 2 anos — mais do que os 21 pontos que a população levou 4 anos para ganhar. Implicaria uma taxa de 12 pontos/ano, mais que o dobro da observada.

🏆 Gabarito: B — a reta cresce 5,25 pontos percentuais por ano; dois anos após 2011 (48%), chega-se a 48 + 10,5 = 58,50%.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa B respeita as duas exigências do enunciado — mesma taxa (5,25 pts/ano) e horizonte de exatamente 2 anos após 2011.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "mantida a mesma taxa/tendência, estime o valor em ...". É sempre função afim disfarçada: ache o coeficiente angular e prolongue a reta.
• Generalização: taxa média = Δy/Δt, com Δt = diferença entre as datas. Depois, valor projetado = último valor conhecido + taxa × (nº de anos à frente).
• Dica de eliminação rápida: o valor tem que ficar um pouco acima de 48% e abaixo de ~60% (dois passos de ~5 pontos). Isso já derruba E (72%) na hora e deixa a disputa entre A, B e C. Entre elas, quem divide por 4 acerta.
• Conexões: progressão aritmética (a projeção ano a ano é uma PA de razão 5,25), coeficiente angular de retas e diferença entre crescimento linear e exponencial (juros compostos).