Questão 140 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (polígonos regulares e triângulos isósceles)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar a fórmula do ângulo interno de polígono regular com a propriedade do triângulo isósceles, em duas etapas de raciocínio.
• 🎯 Tema/Habilidade: Ângulos internos de polígonos regulares aplicados à decomposição de figuras (Competência de Área 2 — Geometria: relacionar figuras planas e espaciais e resolver problemas com propriedades de polígonos).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra as medidas dos três ângulos internos do triângulo ADE, que é o pedaço que falta em uma placa de gesso com formato de pentágono regular."
• Palavras-chave decisivas: pentágono regular, parte triangular faltando, ângulos x = EAD, y = EDA e z = AED
• Armadilha típica: tratar o triângulo ADE como um triângulo qualquer e tentar "adivinhar" os ângulos, ou confundir o lado AD (que é uma diagonal do pentágono) com um lado do polígono — isso muda completamente qual triângulo é isósceles e por quê.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar, dentro do pentágono regular, quais segmentos são lados (iguais entre si) e qual é diagonal, para então aplicar corretamente a soma dos ângulos internos do triângulo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Ângulo interno de polígono regular: para um polígono regular de n lados, cada ângulo interno mede $\dfrac{(n-2)\times180°}{n}$. Para o pentágono (n = 5), isso dá $\dfrac{3\times180°}{5} = 108°$.
• Triângulo isósceles: triângulo com dois lados de mesma medida possui os dois ângulos opostos a esses lados (ângulos da base) também iguais entre si.
• Soma dos ângulos internos de um triângulo: em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos internos é sempre 180°.
• Lado vs. diagonal do polígono: em um polígono regular ABCDE (vértices consecutivos), os segmentos que ligam vértices vizinhos (AB, BC, CD, DE, EA) são lados, todos de mesma medida; segmentos que ligam vértices não vizinhos (como AC ou AD) são diagonais, de medida diferente dos lados.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "placas de gesso com formato de pentágono regular" → o polígono original tem 5 lados iguais e 5 ângulos internos iguais a 108° cada.
• Evidência 2: a figura mostra a região sombreada (o pedaço que sobrou) como o quadrilátero ABCD, com o vértice E ligado por linhas tracejadas a A e a D → o pedaço que falta é exatamente o triângulo ADE, formado pelo vértice "solto" E e os vértices vizinhos a ele no pentágono, A e D.
• Evidência 3: como E é vizinho de A (lado EA) e vizinho de D (lado DE) na sequência ABCDE, os segmentos EA e DE são lados do pentágono — logo EA = DE, e o triângulo ADE é isósceles com vértice principal em E.
• Síntese: o ângulo z = AED é o próprio ângulo interno do pentágono no vértice E (108°), enquanto x = EAD e y = EDA são os ângulos da base do triângulo isósceles ADE, iguais entre si e obtidos por diferença com 180°.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o ângulo interno do pentágono regular

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é $S = (n-2)\times180°$. Para o pentágono, n = 5:

$S = (5-2)\times180° = 3\times180° = 540°$.

Como o pentágono é regular, os 5 ângulos internos são iguais, então cada um mede:

$540° \div 5 = 108°$.

Esse é o valor do ângulo interno em cada vértice do pentágono, inclusive no vértice E.

Subpasso 4.2 — Identificar o triângulo ADE e seu ângulo z

Observando a figura, o pentágono é ABCDE (nessa ordem, percorrendo os vértices). O pedaço que falta é o triângulo ADE, delimitado pelos dois lados do pentágono que chegam a E — o lado EA e o lado DE — e pela diagonal AD, que é o "corte" onde a peça se quebrou.

Como EA e DE são lados do mesmo pentágono regular, EA = DE. Logo o triângulo ADE é isósceles de base AD e ápice em E.

O ângulo z = AED é justamente o ângulo interno do pentágono no vértice E, pois é formado pelos dois lados EA e ED que se encontram em E. Portanto:

$z = 108°$.

Subpasso 4.3 — Calcular x e y usando a soma dos ângulos do triângulo

Como o triângulo ADE é isósceles com EA = ED, os ângulos da base — opostos a esses lados iguais — também são iguais: $x = y$ (ângulo em A é oposto ao lado ED, e ângulo em D é oposto ao lado EA; como ED = EA, esses ângulos são congruentes).

Pela soma dos ângulos internos do triângulo:

$x + y + z = 180°$

$x + x + 108° = 180°$

$2x = 180° - 108° = 72°$

$x = 36°$

Logo, $x = y = 36°$ e $z = 108°$.

Verificação: confira: $36° + 36° + 108° = 180°$ ✓, e o valor de z coincide com o ângulo interno do pentágono regular (108°), como esperado geometricamente. Comparando com as alternativas, x = 36, y = 36 e z = 108 corresponde exatamente à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 18, 18 e 108.

❌ Incorreta: os valores de x e y estão errados. Embora z = 108° esteja certo (é o ângulo interno do pentágono em E), 18° + 18° + 108° = 144° ≠ 180°, violando a soma dos ângulos internos do triângulo — um erro de cálculo na divisão de 72° por 2 (deu 36°, não 18°).

B) 24, 48 e 108.

❌ Incorreta: aqui z = 108° está certo, mas x ≠ y, o que contraria a propriedade central da questão: como EA = ED (ambos lados do pentágono regular), o triângulo ADE é isósceles e seus ângulos da base devem ser iguais. Além disso, 24° + 48° + 108° = 180° "fecha" a soma, mas ignora a condição de isósceles, sendo um erro conceitual, não aritmético.

C) 36, 36 e 108.

✅ Correta: z = 108° é o ângulo interno do pentágono regular no vértice E; como EA = ED, o triângulo ADE é isósceles e x = y; resolvendo $2x + 108° = 180°$ obtém-se $x = y = 36°$. Todos os valores batem com o cálculo desenvolvido no Passo 4.

D) 54, 54 e 72.

❌ Incorreta: essa alternativa inverte a lógica — trata z como se fosse o ângulo da base (72°, complementar a 108°) e x, y como se fossem os ângulos iguais maiores (54°). Na verdade, o ângulo do vértice E do triângulo ADE é o próprio ângulo interno do pentágono (108°), não seu suplementar dividido, e os ângulos da base do triângulo isósceles são menores (36°, não 54°).

E) 60, 60 e 60.

❌ Incorreta: sugere um triângulo equilátero, o que ocorreria apenas se AD também fosse igual a EA e ED — ou seja, se AD fosse lado do pentágono, e não diagonal. Como AD liga dois vértices não consecutivos do pentágono (A e D), ele é uma diagonal, necessariamente maior que o lado, tornando o triângulo isósceles (mas não equilátero).

🏆 Gabarito: C — o triângulo ADE é isósceles (EA = ED, lados do pentágono regular), com ângulo do vértice z = 108° (ângulo interno do pentágono em E) e ângulos da base x = y = 36°, únicos valores que satisfazem simultaneamente a condição de isósceles e a soma de 180° dos ângulos internos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa C respeita as duas condições obrigatórias: o triângulo ser isósceles (x = y, pois dois lados vêm do mesmo polígono regular) e a soma dos ângulos internos ser 180° com z = 108° fixado pela geometria do pentágono.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar polígonos regulares com triângulos formados por diagonais, cobrando primeiro a fórmula $\frac{(n-2)\times180°}{n}$ e depois a leitura da figura para identificar quais segmentos são lados (iguais) e quais são diagonais.
• Generalização: sempre que um triângulo tiver dois lados coincidindo com lados de um mesmo polígono regular, ele será isósceles, e o ângulo do vértice comum será exatamente o ângulo interno do polígono naquele vértice — isso reduz o problema a uma equação simples do tipo $2x + \theta = 180°$.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o ângulo interno do polígono (aqui 108°) e descarte de cara qualquer alternativa cujo terceiro valor não seja 108° (elimina D e E); depois exija que os dois primeiros valores sejam iguais entre si, pois o triângulo é isósceles (elimina B); por fim, confira a soma total 180° (elimina A, que soma 144°), restando apenas C.
• Conexões: esse raciocínio se conecta a questões sobre diagonais de polígonos regulares (número e comprimento), soma de ângulos internos e externos de polígonos, e simetria de figuras planas — temas recorrentes na Competência de Área 2 do ENEM.