Questão 167 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (variância, desvio padrão e mudança de unidades)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é simples, mas exige saber que a variância, por estar em unidade ao quadrado, pede um fator de conversão também elevado ao quadrado.
• 🎯 Tema/Habilidade: Conversão de unidades em medidas de dispersão — aplicação da propriedade Var(aX) = a² · Var(X) em um contexto de produção agrícola.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que a variância da produtividade em kg²/ha² é 9 216, calcule essa mesma variância em sacas²/ha², sabendo que 1 saca = 60 kg."
• Palavras-chave decisivas: variância, 9 216 kg²/ha², saca de café tem 60 kg
• Armadilha típica: dividir 9 216 diretamente por 60, como se a variância fosse uma grandeza linear (isso dá 153,60 — exatamente a alternativa A).
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio de que, numa mudança de escala Y = aX, a variância se transforma como Var(Y) = a² · Var(X), e não como Var(Y) = a · Var(X).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Variância: medida de dispersão que indica o quanto os valores se afastam da média; sempre expressa na unidade da variável elevada ao quadrado — por isso o enunciado já traz "kg²/ha²".
• Transformação linear de variável estatística: se Y = aX (por exemplo, uma troca de unidade de medida), então Var(Y) = a² · Var(X). O fator de conversão "a" nunca entra sozinho — ele sempre aparece ao quadrado dentro da variância.
• Desvio padrão como ponte de verificação: o desvio padrão (σ = √variância) está na mesma unidade da variável original, então ele se converte de forma linear (multiplica-se por "a"). Comparar os dois caminhos — direto pela variância e indireto pelo desvio padrão — é a forma mais segura de checar o resultado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a variância das produtividades das fazendas foi igual a 9 216 kg²/ha²" → confirma que o dado de partida já é uma variância (unidade ao quadrado), não um desvio padrão nem uma média.
• Evidência 2: "a saca de café tem 60 kg" → define o fator de conversão linear entre as unidades de massa: 1 kg equivale a 1/60 de saca.
• Síntese: a produtividade original X (em kg/ha) se transforma em Y = X/60 (em sacas/ha). Como a pergunta trata da variância dessa nova variável, o fator 1/60 precisa ser elevado ao quadrado antes de multiplicar o valor de 9 216.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a mudança de unidade como transformação linear

Seja X a produtividade em kg/ha e Y a produtividade em sacas/ha. Como 1 saca = 60 kg, transformar quilos em sacas significa dividir por 60:

Y = X ÷ 60

Subpasso 4.2 — Aplicar a propriedade da variância em transformações lineares

Para qualquer constante a, vale Var(a·X) = a² · Var(X). Aqui a = 1/60, logo:

Var(Y) = (1/60)² · Var(X) = Var(X) ÷ 60² = Var(X) ÷ 3 600

Substituindo Var(X) = 9 216 kg²/ha²:

Var(Y) = 9 216 ÷ 3 600 = 2,56 sacas²/ha²

Subpasso 4.3 — Verificação por um caminho alternativo (via desvio padrão)

Desvio padrão de X: √9 216 = 96 kg/ha (pois 96² = 9 216, um quadrado perfeito escolhido de propósito pela banca).

Convertendo o desvio padrão para sacas/ha — aqui a conversão é linear, então basta dividir por 60:

96 ÷ 60 = 1,6 sacas/ha

Elevando esse desvio padrão ao quadrado para voltar à variância na nova unidade:

1,6² = 2,56 sacas²/ha²

O resultado bate exatamente com o Subpasso 4.2, confirmando 2,56 como o valor correto.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 153,60

❌ Incorreta: obtida ao dividir 9 216 diretamente por 60 (9 216 ÷ 60 = 153,6), tratando a variância como se fosse uma grandeza linear. Esse é o erro conceitual mais comum da questão — ignora que a unidade kg²/ha² exige um fator de conversão ao quadrado (60² = 3 600), e não o fator simples 60.

B) 12,39

❌ Incorreta: nasce de um erro em cadeia. Parte do valor já errado de A (153,6) e extrai a raiz quadrada dele (√153,6 ≈ 12,39), numa tentativa equivocada de "corrigir" a unidade tirando uma raiz no meio do caminho. Não há fundamento matemático para essa operação: o candidato mistura, sem critério, os conceitos de desvio padrão e variância.

C) 6,55

❌ Incorreta: valor sem lastro dimensional correto. Surge de uma aplicação incompleta do fator de conversão — nem o fator linear (60), nem o fator quadrático correto (3 600) — evidenciando confusão na ordem das operações de elevar ao quadrado e dividir. Não corresponde a nenhuma conversão válida entre kg²/ha² e sacas²/ha².

D) 2,56

✅ Correta: é o único valor obtido ao dividir corretamente a variância original pelo quadrado do fator de conversão (60² = 3 600), aplicando Var(Y) = Var(X) ÷ 3 600 = 9 216 ÷ 3 600 = 2,56. O resultado é confirmado também pelo caminho do desvio padrão (96 ÷ 60 = 1,6; 1,6² = 2,56).

E) 1,60

❌ Incorreta: esse é o valor do desvio padrão em sacas/ha (96 ÷ 60 = 1,6), não da variância pedida no enunciado. É a armadilha mais sutil da questão — o candidato faz a conversão corretamente até certo ponto, mas para um passo antes de elevar ao quadrado, entregando o desvio padrão no lugar da variância.

🏆 Gabarito: D — 2,56 sacas²/ha² é o único valor coerente com a propriedade Var(aX) = a² · Var(X), confirmado tanto pela conversão direta da variância (9 216 ÷ 3 600) quanto pela conversão indireta via desvio padrão (1,6² = 2,56).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa consistente com a regra de transformação da variância; todas as demais nascem de tratar o fator de conversão de forma linear ou de confundir variância com desvio padrão em algum ponto do processo.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente medidas de dispersão (variância, desvio padrão, coeficiente de variação) em contextos de agronegócio, indústria e economia, quase sempre testando se o candidato entende a diferença entre grandeza linear e grandeza "ao quadrado".
• Generalização: sempre que uma grandeza estiver expressa em unidade ao quadrado (variância, área, energia cinética etc.) e for preciso trocar de unidade de medida, o fator de conversão também deve ser elevado ao quadrado — nunca aplicado de forma linear.
• Dica de eliminação rápida: observe a unidade do dado de partida. Se for "algo ao quadrado" (como kg²/ha²), desconfie imediatamente de qualquer alternativa que pareça vir de "dividir só pelo fator simples" (aqui, 153,6) e de qualquer alternativa que pareça ser apenas o desvio padrão isolado (aqui, 1,6) — a resposta certa costuma ser o quadrado do desvio padrão já convertido.
• Conexões: relação entre desvio padrão e coeficiente de variação; propriedade geral Var(aX + b) = a² · Var(X); conversão de unidades em grandezas físicas derivadas ao quadrado, como pressão e energia cinética.