Questão 174 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Potências de 2 e princípio multiplicativo (contagem)
• ⚡ Nível: Médio — a ideia é simples, mas exige saber de cor (ou estimar) as potências de 2 até 2¹².
• 🎯 Tema/Habilidade: Princípio fundamental da contagem aplicado a sequências binárias; resolver desigualdade envolvendo potência.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o menor número n de bits tal que 2ⁿ ≥ 2 560?"
• Palavras-chave decisivas: cada bit assume dois valores (0 ou 1), pelo menos 2 560 informações distintas, o número de bits deve passar de 8 para.
• Armadilha típica: responder o aumento de bits (4) em vez do total (12); ou olhar para 2 560 = 256 × 10 e concluir "10 bits", confundindo multiplicação com exponenciação.
• O que a resposta precisa demonstrar: que você sabe que n bits geram 2ⁿ combinações e procura o menor n que atinge a meta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio multiplicativo: cada bit tem 2 possibilidades. Uma sequência de n bits tem 2 × 2 × ... × 2 (n vezes) = 2ⁿ sequências diferentes. O próprio enunciado confirma: 8 bits → 2⁸ = 256 informações.
• "Pelo menos": a condição é uma desigualdade — 2ⁿ ≥ 2 560 — e a pergunta pede o menor n que a satisfaz.
• Potências de 2 (decore!): 2⁸ = 256; 2⁹ = 512; 2¹⁰ = 1 024; 2¹¹ = 2 048; 2¹² = 4 096; 2¹³ = 8 192.
• Crescimento exponencial: dobrar o número de bits não dobra as informações — cada bit a mais dobra o total.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada dígito, denominado de bit, pode assumir dois valores (0 ou 1)" → base 2 na contagem.
• Evidência 2: "o byte é um octeto, ou seja, uma sequência de 8 bits. Esse padrão permite representar apenas 2⁸ informações distintas" → o enunciado entrega a fórmula: n bits → 2ⁿ informações.
• Evidência 3: "capaz de representar pelo menos 2 560 informações distintas" → procura-se o menor n com 2ⁿ ≥ 2 560.
• Síntese: testar as potências de 2 a partir de 2⁸ até ultrapassar 2 560.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a desigualdade

Com n bits, o número de informações distintas é 2ⁿ. A exigência:

2ⁿ ≥ 2 560

Subpasso 4.2 — Testar as potências de 2

• 2⁸ = 256 → 256 < 2 560 ❌ (é o padrão atual, insuficiente)
• 2⁹ = 512 → 512 < 2 560 ❌
• 2¹⁰ = 1 024 → 1 024 < 2 560 ❌
• 2¹¹ = 2 048 → 2 048 < 2 560 ❌ (chegou perto, mas ainda falta!)
• 2¹² = 4 096 → 4 096 ≥ 2 560 ✔

O menor expoente que atende é n = 12.

Subpasso 4.3 — Verificação

Duas checagens:

1. É suficiente? 12 bits geram 4 096 combinações, e 4 096 ≥ 2 560 ✔
2. É o mínimo? O bit anterior, n = 11, dá 2 048 combinações — e 2 048 < 2 560, portanto 11 não serve. Logo 12 é realmente o menor valor possível ✔

E atenção ao que o comando pede: "o número de bits em um byte deve passar de 8 para ___". A resposta é o total (12), não o acréscimo (12 − 8 = 4). O valor 12 é a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10.

❌ Incorreta: 2¹⁰ = 1 024 informações, bem abaixo das 2 560 exigidas. Esse número costuma vir de olhar 2 560 = 256 × 10 e concluir "preciso de 10 bits" — mas o 10 ali multiplica, não é expoente. Cada bit extra dobra o total; para multiplicar por 10 são necessários 4 bits a mais (2⁴ = 16 ≥ 10).

B) 12.

✅ Correta: 2¹² = 4 096 ≥ 2 560, e o valor imediatamente anterior, 2¹¹ = 2 048, ainda é menor que 2 560. Logo 12 é o menor número de bits que cumpre a exigência.

C) 13.

❌ Incorreta: 2¹³ = 8 192 realmente representa mais de 2 560 informações, mas não é o mínimo — 12 bits já bastam. O enunciado pede a menor quantidade de bits capaz de atender à especificação, e 13 desperdiça um bit inteiro.

D) 18.

❌ Incorreta: 2¹⁸ = 262 144, mais de cem vezes o necessário. Provavelmente vem de somar 8 + 10 (o padrão antigo mais o "10" lido em 2 560 = 256 × 10) — mistura duas contagens sem sentido.

E) 20.

❌ Incorreta: 2²⁰ = 1 048 576 — mais de um milhão de informações, absurdamente acima de 2 560. Superestima o crescimento exponencial: ninguém precisa de 20 bits para representar 2 560 estados.

🏆 Gabarito: B — como 2¹¹ = 2 048 < 2 560 ≤ 4 096 = 2¹², o menor número de bits capaz de representar pelo menos 2 560 informações distintas é 12.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 2 560 está entre 2 048 (2¹¹) e 4 096 (2¹²). Sempre que o alvo cai entre duas potências de 2, o número de bits é o expoente da potência de cima.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa bits/bytes, senhas, placas de carro e códigos de barras para cobrar o princípio multiplicativo. A pergunta quase sempre traz "pelo menos" — sinal de que é o mínimo que satisfaz uma desigualdade.
• Generalização: com n símbolos de k valores cada, o total de combinações é kⁿ. Para atingir pelo menos N combinações, tome o menor n com kⁿ ≥ N (isto é, n = ⌈log_k N⌉).
• Dica de eliminação rápida: memorize 2¹⁰ = 1 024 (≈ mil) e 2¹¹ = 2 048 (≈ 2 mil). Como 2 560 é maior que 2 048, precisamos passar de 11 → a resposta é 12. Isso derruba A imediatamente e mostra que C, D e E são exageros.
• Conexões: análise combinatória (princípio fundamental da contagem), logaritmos na base 2 e sistemas de numeração (binário, hexadecimal).