Questão 180 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão, Proporção e Escala (semelhança de retângulos)
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo em si é simples, mas exige identificar qual dimensão é o fator limitante do ajuste, o que costuma confundir o candidato.
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação de escala para redução proporcional de figuras planas, com otimização da maior área possível dentro de um retângulo dado.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual escala transforma o quadro (3,6 m × 7,8 m) na maior reprodução possível que ainda caiba inteira numa tela de 20 cm × 30 cm, sem distorcer suas proporções?"
• Palavras-chave decisivas: maior área possível, mantendo a proporção, 20 cm por 30 cm
• Armadilha típica: calcular a escala usando apenas a altura do quadro (3,6 m) contra a altura da tela (20 cm), obtendo 1:18 — e ignorar que, nessa escala, o comprimento da reprodução ultrapassaria os 30 cm disponíveis, tornando o desenho impossível de caber na tela.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de testar as duas dimensões (altura e comprimento) como possíveis "gargalos" do ajuste e escolher a escala que respeita as duas restrições simultaneamente, maximizando o tamanho da reprodução.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Escala (1:k): razão constante entre uma medida da representação e a medida real correspondente. Cada unidade da reprodução equivale a k unidades reais — quanto maior o k, mais reduzida é a reprodução.
• Retângulos semelhantes: o quadro e sua reprodução têm a mesma razão altura/comprimento. Manter a proporção significa aplicar o mesmo fator de escala às duas dimensões ao mesmo tempo.
• Maior figura semelhante inscrita numa moldura: para a maior reprodução proporcional caber num retângulo fixo, uma das dimensões deve coincidir exatamente com a da moldura — a outra fica com folga. A dimensão que "bate" primeiro no limite é o fator limitante.
• Conversão de unidades: é preciso colocar tudo na mesma unidade (aqui, centímetros), pois o quadro está em metros e a tela em centímetros.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "tela de dimensões 20 cm por 30 cm" → define o retângulo-moldura, o espaço físico máximo disponível para a reprodução.
• Evidência 2: "pintura com 3,6 m de altura e 7,8 m de comprimento" → fixa a razão altura/comprimento do original, que deve ser preservada em qualquer redução.
• Evidência 3: "preencher a maior área possível da tela, mantendo a proporção" → é o núcleo do problema: não basta manter a proporção, é preciso encontrar a MAIOR reprodução proporcional que ainda caiba dentro da tela.
• Síntese: a razão altura/comprimento do quadro (360/780 ≈ 0,4615) é bem menor que a razão altura/comprimento da tela (20/30 ≈ 0,6667) — ou seja, o quadro é proporcionalmente "mais alongado" do que a tela. Isso indica, antes mesmo de calcular, que o comprimento será o fator limitante, não a altura.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Unificar unidades e calcular as razões

Original: altura = 3,6 m = 360 cm; comprimento = 7,8 m = 780 cm.

Tela: altura = 20 cm; comprimento = 30 cm.

Razão altura/comprimento do original: 360 ÷ 780 = 6/13 ≈ 0,4615.

Razão altura/comprimento da tela: 20 ÷ 30 = 2/3 ≈ 0,6667.

Como 0,4615 < 0,6667, o retângulo do quadro é mais "estreito" (alongado) que o da tela.

Subpasso 4.2 — Testar as duas hipóteses de encaixe

Hipótese A — altura como referência: usar os 20 cm de altura por inteiro exige comprimento = 20 × (780/360) ≈ 43,33 cm > 30 cm. Não cabe.

Hipótese B — comprimento como referência: usar os 30 cm de comprimento por inteiro exige altura = 30 × (360/780) ≈ 13,85 cm ≤ 20 cm. Cabe perfeitamente — o comprimento é o fator limitante.

Subpasso 4.3 — Calcular e verificar a escala

A reprodução deve ter comprimento de 30 cm correspondendo aos 780 cm reais:

Escala = 30 : 780 = 1 : 26.

Verificação com a altura: 360 ÷ 26 ≈ 13,85 cm, que é menor que 20 cm — a reprodução toca exatamente a borda do comprimento (30 cm) e sobra folga de 20 − 13,85 ≈ 6,15 cm na altura. Essa é a maior reprodução proporcional possível dentro da tela, confirmando a escala 1:26.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1:12.

❌ Incorreta: comprimento = 780 ÷ 12 = 65 cm e altura = 360 ÷ 12 = 30 cm — ambas ultrapassam a tela (20 × 30 cm). Redução insuficiente: a figura sequer cabe.

B) 1:18.

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão. Calculada a partir da altura (360 ÷ 18 = 20 cm, encaixando "certinho"), parece atraente. Mas o comprimento correspondente seria 780 ÷ 18 ≈ 43,33 cm, muito maior que os 30 cm disponíveis — a reprodução extrapolaria a tela.

C) 1:21.

❌ Incorreta: altura = 360 ÷ 21 ≈ 17,14 cm (cabe), mas comprimento = 780 ÷ 21 ≈ 37,14 cm, ainda maior que 30 cm.

D) 1:23.

❌ Incorreta: altura = 360 ÷ 23 ≈ 15,65 cm (cabe), mas comprimento = 780 ÷ 23 ≈ 33,91 cm, ainda acima dos 30 cm. Só a partir de k = 26 o comprimento se ajusta ao limite da tela.

E) 1:26.

✅ Correta: é a menor escala (maior fator de redução) que faz o comprimento coincidir exatamente com os 30 cm da tela (780 ÷ 26 = 30 cm), enquanto a altura resultante (≈ 13,85 cm) cabe com folga nos 20 cm disponíveis. Nenhuma escala menor cabe; nenhuma maior aproveita o máximo de área — 1:26 maximiza a reprodução mantendo a proporção.

🏆 Gabarito: E — a escala 1:26 é a única que satisfaz simultaneamente as duas restrições da tela (altura ≤ 20 cm e comprimento ≤ 30 cm), com o comprimento no limite exato, garantindo a maior reprodução proporcional possível.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só em 1:26 a reprodução preenche o comprimento inteiro da tela (30 cm) sem que a altura ultrapasse os 20 cm; k < 26 faz o comprimento "estourar", e k > 26 desperdiça área.
• Padrão de cobrança: questões do tipo "maior figura possível dentro de uma moldura, mantendo a proporção" são recorrentes no ENEM (mapas, fotos, quadros, banners) e testam se o candidato identifica a dimensão que limita o ajuste, em vez de aplicar uma razão direta.
• Generalização: para encaixar a maior figura semelhante dentro de um retângulo-moldura, calcule a escala separadamente pela altura e pelo comprimento; a correta é sempre a que exige o maior fator de redução (maior k em 1:k), pois é a única que respeita as duas dimensões ao mesmo tempo.
• Dica de eliminação rápida: compare a razão altura/comprimento do original com a da moldura. Se a do original for menor (retângulo mais alongado), o comprimento será sempre o fator limitante — descarte de cara qualquer escala calculada pela altura.
• Conexões: proporcionalidade em mapas e plantas baixas; maior retângulo inscrito em outra figura.