Questão 171 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de cilindro e de paralelepípedo reto-retângulo)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar duas fórmulas de volume, converter mililitros em centímetros cúbicos e interpretar corretamente a condição "pelo menos"
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo e comparação de volumes de sólidos geométricos em contexto de embalagens industriais
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a altura mínima aproximada da nova caixa de base quadrada para que ela comporte pelo menos 400 mL a mais do que a embalagem cilíndrica atual?"
• Palavras-chave decisivas: pelo menos 400 mL maior, base quadrada de lado 16 cm, π ≈ 3
• Armadilha típica: esquecer de somar o acréscimo de 400 cm³ ao volume do cilindro antes de dividir pela área da base, ou confundir raio com diâmetro em algum dos dois sólidos.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de calcular o volume de um cilindro, reconhecer que 1 mL equivale a 1 cm³, montar a inequação de volume da nova embalagem e isolar a altura corretamente, arredondando de forma coerente com o enunciado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro: V = π·r²·h, sendo r o raio da base e h a altura. Como o diâmetro é 16 cm, o raio vale 8 cm — esse é o primeiro ponto de atenção da questão.
• Volume do paralelepípedo reto-retângulo (caixa): V = A_base · h, onde, para uma base quadrada de lado ℓ, tem-se A_base = ℓ².
• Equivalência de unidades: 1 mL = 1 cm³ (mililitro é a unidade de capacidade numericamente equivalente ao centímetro cúbico, unidade de volume).
• Interpretação de "pelo menos": a expressão define uma desigualdade — V_nova ≥ V_atual + 400 — e não uma igualdade exata; por isso a altura final precisa satisfazer essa condição mínima, o que orienta o tipo de arredondamento a ser feito.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cilíndricas e medem 16 cm de diâmetro e 20 cm de altura" → define r = 8 cm e h = 20 cm para o cálculo do volume atual.
• Evidência 2: "paralelepípedos retos retângulos, de base quadrada, de lado medindo 16 cm" → a área da base da nova caixa é fixa em 16 × 16 = 256 cm²; a única incógnita do problema é a altura.
• Evidência 3: "capacidade delas deverá ser, pelo menos, 400 mL maior" → o volume da nova caixa deve ser igual ou superior ao volume do cilindro acrescido de 400 cm³.
• Síntese: o caminho da resolução é calcular V_cilindro, somar 400 cm³ a esse valor e dividir o total pela área fixa da base quadrada (256 cm²), obtendo a altura mínima que a nova embalagem deve ter.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume da embalagem cilíndrica atual

r = 16 ÷ 2 = 8 cm; h = 20 cm; π ≈ 3.

V_cil = π · r² · h = 3 × 8² × 20 = 3 × 64 × 20 = 3 840 cm³.

Subpasso 4.2 — Volume mínimo exigido para a nova caixa

Como 1 mL = 1 cm³, 400 mL equivalem a 400 cm³.

V_caixa ≥ V_cil + 400 → V_caixa ≥ 3 840 + 400 = 4 240 cm³.

Subpasso 4.3 — Isolando a altura da caixa

A_base = 16 × 16 = 256 cm² (valor fixo, dado pelo enunciado).

Como V_caixa = A_base × h, segue que h ≥ 4 240 ÷ 256 = 16,5625 cm.

Como o enunciado pede o "valor aproximado" da altura e essa altura precisa satisfazer h ≥ 16,5625 cm, o menor valor inteiro que cumpre a condição é h ≈ 17 cm.

Subpasso 4.4 — Verificação

Testando h = 17 cm: V = 256 × 17 = 4 352 cm³ ≥ 4 240 cm³ ✓ (folga de 112 cm³, compatível com "pelo menos").

Testando h = 16 cm: V = 256 × 16 = 4 096 cm³ < 4 240 cm³ ✗ (não atende à exigência mínima de acréscimo).

Logo, 17 cm é o menor valor inteiro compatível com a condição do problema — confirmando que a alternativa correta é a C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 11.

❌ Incorreta: esse valor nasce de um erro na montagem da área da base — por exemplo, tratar a base como um retângulo de 24 cm × 16 cm, misturando por engano uma medida do cilindro antigo (como o raio de 8 cm somado ao lado da caixa de 16 cm) com o lado real da nova embalagem, em vez de usar o quadrado correto 16 × 16. Com essa área errada de 384 cm², 4 240 ÷ 384 ≈ 11, um resultado bem abaixo do necessário para comportar o volume mínimo exigido.

B) 15.

❌ Incorreta: corresponde a esquecer de somar os 400 cm³ (400 mL) exigidos a mais, calculando apenas 3 840 ÷ 256 = 15. Esse é o erro mais recorrente da questão — o aluno acerta o volume do cilindro e a área da base, mas ignora a condição central do enunciado, que exige capacidade estritamente maior.

C) 17.

✅ Correta: resulta de somar corretamente o acréscimo de 400 cm³ ao volume do cilindro (3 840 + 400 = 4 240 cm³) e de dividir esse total pela área real da base quadrada (256 cm²), chegando a h ≥ 16,5625 cm, arredondado para 17 cm — o único valor entre as opções que garante uma capacidade de pelo menos 400 mL a mais que a embalagem atual.

D) 62.

❌ Incorreta: surge quando se usa o diâmetro (16 cm) no lugar do raio na fórmula do cilindro, isto é, calcula-se π × 16² × 20 = 15 360 cm³ como se fosse o volume atual. Somando 400 e dividindo por 256, obtém-se 15 760 ÷ 256 ≈ 61,6 ≈ 62 — um volume de referência quase quatro vezes maior que o real, decorrente de esquecer que o raio é metade do diâmetro.

E) 66.

❌ Incorreta: decorre de calcular errado a área da base da nova caixa, usando 64 cm² em vez de 256 cm² — seja tomando "lado 16 cm" como se fosse um diâmetro e usando metade dele (8 × 8 = 64), seja confundindo a área da base com o perímetro do quadrado (4 × 16 = 64). Com essa base subdimensionada, 4 240 ÷ 64 = 66,25 ≈ 66, uma altura exagerada para uma base que, na realidade, é quatro vezes maior.

🏆 Gabarito: C — a altura mínima da nova embalagem é obtida somando corretamente os 400 cm³ exigidos ao volume do cilindro (4 240 cm³) e dividindo pela área real da base quadrada (256 cm²), resultando em h ≥ 16,5625 cm, ou seja, aproximadamente 17 cm.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente h ≈ 17 cm satisfaz simultaneamente a fórmula correta do cilindro (r = 8 cm), a área correta da base da caixa (256 cm²) e a condição de acréscimo mínimo de 400 cm³; qualquer desvio em uma dessas três variáveis produz um valor incompatível com o enunciado, como mostram as alternativas A, D e E.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência a comparação entre volumes de sólidos diferentes (cilindro vs. prisma, cone vs. pirâmide, esfera vs. cubo) em contextos de embalagens, reservatórios e produção industrial, sempre testando se o candidato aplica a fórmula correta para cada forma e maneja bem as unidades de capacidade.
• Generalização: em questões de "trocar a forma da embalagem mantendo ou alterando a capacidade", o roteiro é sempre o mesmo: (1) calcular o volume da forma original; (2) montar a equação ou inequação de volume da nova forma; (3) isolar a incógnita geométrica pedida (altura, raio, aresta etc.).
• Dica de eliminação rápida: sempre que o diâmetro aparecer no enunciado, escreva imediatamente "r = diâmetro ÷ 2" antes de qualquer conta — isso elimina de cara alternativas infladas como a D, que nascem do erro clássico de usar o diâmetro como se fosse o raio. Da mesma forma, confira se a área da base bate com "lado × lado" e não com o perímetro, o que descarta armadilhas como a E.
• Conexões: volume de prismas e cilindros; conversão entre litro, mililitro e centímetro cúbico; resolução de inequações lineares aplicadas a contextos geométricos.