Questão 142 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (sistema de eixos cartesianos e projeções ortogonais sobre planos coordenados)
• ⚡ Nível: Médio-Difícil — exige visualizar o movimento tridimensional do balanço e "desligar" mentalmente um dos eixos em cada projeção, um tipo de raciocínio espacial pouco treinado na maioria dos simulados.
• 🎯 Tema/Habilidade: Projeções ortogonais de uma trajetória curva sobre planos coordenados (competência de área 3 — geometria espacial e suas representações)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Ao projetar (achatar) a trajetória de M — um arco de pêndulo — sobre os planos yOz e xOz, que forma assume cada projeção?"
• Palavras-chave decisivas: projeções ortogonais, plano yOz / plano xOz, cordas... ortogonais à haste horizontal
• Armadilha típica: trocar a ordem das respostas — atribuir o arco de circunferência à vista frontal (yOz, Estudante I) e o segmento vertical à vista lateral (xOz, Estudante II), exatamente como propõe a alternativa D, que espelha a resposta correta.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar (1) qual coordenada "desaparece" em cada projeção e (2) que, no plano que preserva o movimento real, a curva é um arco de circunferência — nunca uma parábola.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Projeção ortogonal sobre um plano coordenado: consiste em "apagar" a coordenada perpendicular a esse plano. Projetar sobre yOz elimina x; projetar sobre xOz elimina y.
• Movimento pendular (balanço): como as cordas têm comprimento fixo e giram em torno dos pontos de fixação na haste, o ponto M descreve um arco de circunferência de raio igual ao comprimento das cordas — nunca uma parábola, que só apareceria em um lançamento livre, sem vínculo rígido.
• Restrição geométrica do enunciado: as cordas permanecem esticadas e ortogonais à haste horizontal durante todo o movimento. Isso confina o balanço a oscilar sempre no mesmo plano vertical perpendicular à haste, de modo que a coordenada y de M nunca muda — só x e z variam.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cordas de sustentação... ortogonais à haste horizontal" → o plano de oscilação do balanço é sempre perpendicular à haste; como a haste é paralela ao eixo y (é ela que liga as duas armações triangulares vistas na figura), o plano do balanço é paralelo ao plano xOz, com y constante.
• Evidência 2: "cordas... permaneciam esticadas" → a distância de M ao ponto de fixação da corda é constante (o próprio comprimento da corda), então a trajetória de M nesse plano é, por definição, um arco de circunferência (lugar geométrico dos pontos equidistantes de um centro).
• Evidência 3: "estudante I, vista frontal... plano yOz" e "estudante II, vista lateral... plano xOz" → o enunciado já entrega o par (aluno, plano de projeção); resta decidir a forma de cada projeção, na ordem pedida ("respectivamente").
• Síntese: como y é constante e x, z variam sobre um arco, a projeção que elimina x (plano yOz, vista de Estudante I) reduz o movimento a uma reta vertical; a projeção que elimina y (plano xOz, vista de Estudante II) preserva o arco inteiro.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Lendo o sistema de eixos na figura

Na imagem, o eixo z aponta para cima (vertical), o eixo y aponta para a direita — na direção da haste horizontal que une as duas armações triangulares do balanço — e o eixo x aponta na diagonal, para fora, representando a profundidade. O assento retangular, com o ponto M em seu centro, é sustentado por cordas paralelas e de mesmo comprimento, presas à haste. Estudante I está posicionado de frente para o balanço (olhando ao longo do eixo x — vista frontal), e Estudante II está posicionado de lado (olhando ao longo do eixo y — vista lateral).

Subpasso 4.2 — Determinando o plano de oscilação de M

Como as cordas permanecem esticadas e sempre ortogonais à haste (paralela a y), o balanço só pode se mover "para frente e para trás" (variação em x) combinado com subida e descida (variação em z). Ele jamais se desloca lateralmente — não há variação em y. Logo, o ponto M se move inteiramente dentro de um único plano vertical paralelo ao plano xOz, com y = constante. Como as cordas têm comprimento fixo L e giram em torno do ponto de fixação na haste, M descreve, nesse plano, um arco de circunferência de raio L.

Subpasso 4.3 — Projeção no plano yOz (vista de Estudante I)

Projetar no plano yOz significa apagar a coordenada x. Mas x é justamente a única coordenada que produzia deslocamento horizontal durante o balanço; y já era constante, e z varia entre um valor mínimo (ponto mais baixo do arco) e um valor máximo (extremidades do movimento). Eliminando x, sobra apenas a variação de z com y fixo — o que é, por definição, um segmento de reta vertical no plano yOz. É exatamente o que Estudante I enxerga de frente: o assento subindo e descendo, sem deslocamento lateral aparente.

Subpasso 4.4 — Projeção no plano xOz (vista de Estudante II)

Projetar no plano xOz significa apagar a coordenada y — mas y já é constante ao longo de todo o movimento e não carrega informação nova a perder. Toda a variação relevante (x e z) é preservada integralmente nessa projeção. Portanto, a projeção no plano xOz reproduz fielmente o arco de circunferência percorrido por M — o perfil clássico de "vaivém" que Estudante II observa de lado.

Subpasso 4.5 — Verificação

Confrontando com as alternativas, buscamos "segmento de reta vertical" associado à vista de Estudante I (yOz) seguido de "arco de circunferência" associado à vista de Estudante II (xOz), nessa ordem — pois o enunciado pede as respostas "respectivamente" (I, depois II). Essa combinação exata corresponde à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) um segmento de reta vertical e um segmento de reta horizontal.

❌ Incorreta: a primeira parte (segmento vertical para Estudante I) está certa, mas a segunda erra a natureza da vista de Estudante II. Um segmento horizontal implicaria z constante e apenas x variando — ou seja, um balanço que desliza rente ao chão sem subir nem descer, o que contradiz o movimento pendular real, em que M necessariamente sobe e desce ao longo do arco.

B) um segmento de reta vertical e uma curva em forma de parábola.

❌ Incorreta: acerta a vista frontal (segmento vertical), mas erra a forma da vista lateral. Uma parábola surgiria se M estivesse sujeito a um movimento de queda livre ou lançamento, sem amarração de comprimento fixo. Como M está preso por cordas rígidas e esticadas a um eixo de rotação, a curva é circular (raio constante igual ao comprimento da corda), jamais parabólica.

C) uma curva em forma de parábola e um segmento de reta vertical.

❌ Incorreta: comete dois erros simultâneos — inverte a ordem das vistas (coloca a forma da vista de Estudante II na posição de Estudante I) e ainda erra a natureza da curva, chamando de parábola o que é, na verdade, um arco de circunferência.

D) um arco de circunferência e um segmento de reta vertical.

❌ Incorreta: é a "armadilha-espelho" da resposta certa — identifica corretamente as duas formas (arco e segmento vertical) que aparecem no problema, mas as atribui na ordem trocada. Aqui o arco é apontado para a vista de Estudante I (plano yOz), quando, ao eliminar a coordenada x, essa projeção só pode registrar variação vertical (reta), nunca curvatura.

E) um segmento de reta vertical e um arco de circunferência.

✅ Correta: reproduz exatamente a dedução do Passo 4 — Estudante I (plano yOz, com x eliminado) vê um segmento de reta vertical, e Estudante II (plano xOz, com y eliminado — que já era constante) vê o arco de circunferência completo do movimento do balanço.

🏆 Gabarito: E — a vista frontal (plano yOz) colapsa o eixo de oscilação (x) e sobra apenas a variação de altura, um segmento vertical; a vista lateral (plano xOz) preserva integralmente o arco de circunferência descrito por M, pois y é constante e não há informação a eliminar nessa direção.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E respeita simultaneamente (i) a forma correta de cada curva (reta vs. arco de circunferência, nunca parábola) e (ii) a atribuição correta de cada forma ao respectivo observador e plano.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de testar projeções ortogonais em situações do cotidiano — balanços, rodas-gigantes, escadas, prédios — pedindo que o estudante "elimine" mentalmente uma dimensão e preveja a silhueta resultante em cada plano coordenado.
• Generalização: para uma trajetória curva contida num plano em que uma coordenada é fixa (aqui, y = constante), a projeção que elimina essa mesma coordenada fixa (xOz) sempre reproduz a curva original sem distorção; já a projeção que elimina uma coordenada que efetivamente varia (yOz elimina x) sempre "achata" a curva numa reta, ao longo da coordenada restante.
• Dica de eliminação rápida: primeiro decida se a curva real é circular (há um vínculo rígido — corda, raio, eixo de rotação) ou parabólica (há queda livre/lançamento sem vínculo) — isso já elimina B e C. Em seguida, identifique qual eixo cada observador "atravessa com o olhar" (o eixo que desaparece na projeção) para decidir a ordem certa entre D e E.
• Conexões: vistas ortogonais (frontal, lateral, superior) de sólidos geométricos; movimento circular e parametrização de trajetórias; sistemas de coordenadas cartesianas no espaço (ℝ³).