Questão 150 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → interpretação de gráficos aplicada a um fenômeno físico (vazão constante em recipiente de seção variável)
• ⚡ Nível: Médio — não exige contas, mas exige traduzir uma forma composta (cilindro-cilindro-esfera-cilindro) em quatro trechos de inclinação diferente no gráfico
• 🎯 Tema/Habilidade: Relação entre área da seção transversal e taxa de variação da altura de um líquido; leitura crítica de um gráfico que descreve um processo contínuo
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado o formato do garrafão (visto de frente) e vazão de saída constante, qual gráfico h × t descreve corretamente a queda do nível da água?"
• Palavras-chave decisivas: vazão constante, seções transversais circulares, base voltada para cima
• Armadilha típica: confundir "vazão constante" com "queda de altura constante" e procurar uma reta única — isso ignora que a largura do garrafão muda ao longo da altura, então a velocidade com que o nível desce também muda.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de conectar a geometria do recipiente (áreas variáveis) com a inclinação do gráfico h(t): área menor implica queda mais rápida.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Vazão constante (Q): volume escoado por unidade de tempo é sempre o mesmo, Q = ΔV/Δt, independente da forma do recipiente naquele instante.
• Fatia fina de líquido: para uma camada de espessura dh, o volume é dV = A(h) · dh, sendo A(h) a área da seção circular naquela altura. Logo Q = A(h) · |dh/dt|, ou seja, |dh/dt| = Q/A(h).
• Consequência: área grande ⇒ nível cai devagar (trecho achatado); área pequena ⇒ nível cai rápido (trecho quase vertical).
• Sólido composto: invertido, o garrafão escoa nesta ordem: cilindro estreito (antiga base) → cilindro largo (corpo) → zona esférica afunilando → cilindro estreito (gargalo, na torneira).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "seções transversais são circunferências" → A(h) = π·r(h)². Basta acompanhar como r muda para saber como a inclinação muda.
• Evidência 2: "base voltada para cima" + figura → confirma a ordem de esvaziamento: cilindro estreito do topo → cilindro largo → zona esférica afunilando → cilindro estreito do gargalo.
• Síntese: com vazão constante e área mudando quatro vezes de comportamento, o gráfico certo precisa ter quatro "personalidades" de inclinação em sequência, e o trecho do cilindro largo — que concentra a maior parte do volume — deve ocupar a maior fatia do eixo do tempo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzindo cada região em inclinação

Percorrendo o garrafão do nível inicial até a torneira:

• Região 1 (cilindro estreito do topo): raio pequeno ⇒ área pequena ⇒ |dh/dt| grande. Trecho inclinado, de curta duração no eixo t.
• Região 2 (cilindro largo, corpo principal): raio grande ⇒ área grande ⇒ |dh/dt| pequena. Trecho praticamente reto e pouco inclinado; como concentra a maior parte do volume, ocupa a maior faixa de tempo do gráfico.
• Região 3 (zona esférica): o raio diminui continuamente até o raio do gargalo ⇒ área diminui continuamente ⇒ |dh/dt| cresce continuamente. Trecho curvo, com inclinação aumentando progressivamente.
• Região 4 (cilindro estreito do gargalo): raio pequeno e constante ⇒ |dh/dt| grande e constante. Trecho reto, quase vertical, curtíssimo, levando h a zero.

Subpasso 4.2 — Assinatura do gráfico correto

Da esquerda (t = 0) para a direita: curta e moderadamente inclinada → longa e suave (dominando o eixo t) → curva de inclinação crescente → curtíssima e quase vertical, terminando em h = 0. Isso elimina de saída dois erros comuns: trecho horizontal (a água nunca "pausa" com a torneira aberta — exigiria área infinita) e salto vertical no meio (exigiria área nula no meio da zona esférica, que na verdade afunila de forma gradual).

Subpasso 4.3 — Verificação

Confrontando essa assinatura com as cinco opções, só uma tem: trecho inicial breve, longo trecho reto e suave dominando o eixo t, curva de inclinação crescente, e fechamento quase vertical rente ao eixo. É o gráfico I, alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

✅ Correta: trecho inicial curto e moderado (cilindro estreito do topo), longo trecho quase reto dominando o eixo t (cilindro largo, coerente com a região de maior volume), curva de inclinação crescente (zona esférica) e queda muito íngreme e curtíssima no fim (gargalo). Única sequência compatível com a variação real da área.

B) II.

❌ Incorreta: pouco antes do fim, o gráfico mostra um trecho quase horizontal (a água parece parar de descer) antes da queda vertical. Um patamar horizontal exigiria área transversal infinita ali, algo inexistente no garrafão.

C) III.

❌ Incorreta: inverte a lógica das últimas regiões — o trecho mais inclinado fica no meio e o final é suave. Isso equivaleria a dizer que o gargalo (a parte mais estreita) tem seção maior que o resto do garrafão, o oposto da figura.

D) IV.

❌ Incorreta: apresenta um salto quase vertical no meio do gráfico, seguido de um trecho final suave. O salto corresponderia a esvaziar instantaneamente um trecho inteiro (área tendendo a zero) bem onde está a zona esférica, que na verdade afunila de forma gradual, não em degrau; terminar suave também contradiz o gargalo estreito.

E) V.

❌ Incorreta: já começa inclinada, sem o platô suave esperado logo após o topo, e termina com inclinação apenas moderada, não com a queda quase vertical do gargalo. A proporção de tempo entre trechos não reflete a real distribuição de volume do garrafão.

🏆 Gabarito: A — é o único gráfico cuja sequência de inclinações (curta/moderada → longa/suave dominando o eixo t → curva crescente → curtíssima/quase vertical) reproduz fielmente a mudança de área do garrafão: estreito → largo → afunilando → estreito.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A é a única opção em que a maior fatia do eixo do tempo corresponde à região de maior volume (cilindro largo, baixa inclinação) e a menor fatia, à região mais estreita (gargalo, maior inclinação) — exatamente o que |dh/dt| = Q/A(h) exige.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente "gráfico de nível de líquido × tempo" para recipientes de formato composto (potes, garrafas, taças, ampulhetas, funis) sob vazão constante, testando se o candidato associa área maior a variação mais lenta.
• Generalização: em recipiente de seção variável com vazão constante, a inclinação do gráfico h × t é inversamente proporcional à área da seção transversal: áreas constantes geram trechos retos, áreas que crescem ou diminuem geram curvas de inclinação crescente ou decrescente, e a duração de cada trecho é proporcional ao volume daquela parte do recipiente.
• Dica de eliminação rápida: descarte de imediato qualquer gráfico com trecho horizontal ou salto vertical no meio (fisicamente impossível com vazão constante e área finita); depois confira se o trecho mais longo corresponde ao maior raio do recipiente e se o gráfico termina bem íngreme.
• Conexões: torneira enchendo reservatórios de formato variável; relação entre derivada e inclinação de uma curva.