Questão 157 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (cilindro e prisma reto de base quadrada)
• ⚡ Nível: Fácil — basta reconhecer a relação entre o diâmetro de uma circunferência e o lado do menor quadrado que a circunscreve.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relações métricas entre sólidos geométricos (círculo inscrito em quadrado) aplicadas a um problema de embalagem — competência de área 3 do ENEM (construir noções de grandezas e medidas para a resolução de problemas).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o menor lado possível para a base quadrada de uma caixa que consiga envolver completamente um cilindro de raio 25 cm?"
• Palavras-chave decisivas: menor caixa possível, base quadrada, raio externo da base
• Armadilha típica: confundir raio com diâmetro (usar 25 em vez de 50) ou tentar aplicar a fórmula do comprimento da circunferência (2πr) como se fosse uma medida linear de lado — erro que gera exatamente uma das alternativas erradas.
• O que a resposta precisa demonstrar: a compreensão de que, para embalar um objeto cilíndrico numa caixa de base quadrada da forma mais justa possível, o lado do quadrado deve ser igual ao diâmetro da base circular do cilindro — nem mais, nem menos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Cilindro circular reto: sólido formado por duas bases circulares paralelas e congruentes, unidas por uma superfície lateral perpendicular às bases. Sua base é totalmente definida pelo raio r.
• Paralelepípedo retangular reto de base quadrada: sólido cujas seis faces são retângulos, sendo a base (e o topo) um quadrado de lado L; é o formato clássico de uma caixa de papelão.
• Círculo circunscrito por um quadrado: entre todos os quadrados capazes de conter um círculo de raio r, o menor é aquele cujos quatro lados tangenciam a circunferência. Nessa configuração, o lado do quadrado é igual ao diâmetro do círculo (L = 2r), pois a distância entre dois lados opostos do quadrado precisa cobrir a maior largura do círculo, que é o próprio diâmetro.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "raio externo da base igual a 25 cm" → o diâmetro da base do cilindro é d = 2 × 25 = 50 cm; essa é a maior distância horizontal que qualquer embalagem precisa acomodar.
• Evidência 2: "caixa... com a mesma altura do cilindro" → a altura de 1 metro (100 cm) já vem pronta e igual para os dois sólidos; ela não interfere em nada no cálculo do lado da base, funcionando apenas como dado de contexto.
• Evidência 3: "a empresa deseja construir a menor caixa possível" → descarta qualquer quadrado maior que o necessário; a solução ótima é o quadrado que toca a circunferência em quatro pontos, sem sobra de espaço.
• Síntese: o problema tridimensional se reduz a um problema clássico de geometria plana — encontrar o lado do menor quadrado que circunscreve um círculo de raio conhecido —, e a altura do sólido é irrelevante para essa pergunta específica.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar o diâmetro da base do cilindro

O raio da base é r = 25 cm. Como o diâmetro é o dobro do raio:

d = 2 × r = 2 × 25 = 50 cm

Subpasso 4.2 — Relacionar o diâmetro com o lado do quadrado circunscrito

Imagine a base circular do cilindro vista de cima, encaixada dentro do quadrado que forma a base da caixa. Para que o círculo toque os quatro lados do quadrado (menor caixa possível, sem folga desnecessária), a distância entre dois lados paralelos do quadrado deve ser igual ao diâmetro do círculo. Logo:

L = d = 50 cm

Se L fosse menor que 50 cm, o cilindro não caberia. Se L fosse maior, a caixa deixaria de ser a menor possível, sobrando espaço vazio nos quatro cantos (área do quadrado menos área do círculo).

Subpasso 4.3 — Verificação

O valor obtido, L = 50 cm, corresponde à alternativa D. A altura de 100 cm citada no enunciado não entra no cálculo — ela apenas garante que a caixa tem a mesma altura do cilindro.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 25.

❌ Incorreta: reproduz diretamente o valor do raio, não do diâmetro. Quem escolhe essa alternativa esquece que o quadrado precisa cobrir o círculo inteiro dos dois lados do centro, e não apenas a distância do centro até a borda.

B) 35.

❌ Incorreta: esse valor não corresponde a nenhuma operação geometricamente válida com os dados do problema (não é o raio, não é o diâmetro, não é derivado do perímetro ou da circunferência). Funciona como distrator "plausível" para testar se o candidato sabe justificar de onde vem o número, em vez de arriscar um valor intermediário por intuição.

C) 39.

❌ Incorreta: surge de um erro conceitual comum — imaginar que o quadrado deveria ter o mesmo perímetro do círculo. Calculando a circunferência, C = 2πr = 2π(25) = 50π ≈ 157 cm, e dividindo por 4 lados, chega-se a 157/4 ≈ 39. Esse raciocínio é inválido: a caixa precisa conter o círculo por dentro (circunscrição), não ter o mesmo perímetro que ele.

D) 50.

✅ Correta: é o diâmetro da base do cilindro (2 × 25 cm), que corresponde ao lado do menor quadrado capaz de circunscrever essa base circular, atendendo à condição de "menor caixa possível" do enunciado.

E) 157.

❌ Incorreta: é o valor aproximado do comprimento da circunferência da base, C = 2πr = 50π ≈ 157 cm. Armadilha clássica: o candidato calcula corretamente a circunferência, mas aplica esse comprimento curvo como se fosse uma medida linear de lado, o que não tem sentido geométrico.

🏆 Gabarito: D — o lado interno da base quadrada da caixa deve ser igual ao diâmetro do cilindro (2 × 25 cm = 50 cm), pois esse é o menor quadrado capaz de circunscrever completamente a base circular do recipiente.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre todas as alternativas, apenas 50 cm satisfaz simultaneamente as duas condições do enunciado — caber o cilindro inteiro e ser a menor caixa possível —, já que corresponde ao diâmetro da base circular.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente disfarça problemas de geometria plana (círculo e quadrado, círculo e triângulo) dentro de contextos tridimensionais de embalagem, transporte ou armazenamento, testando se o estudante isola a relação bidimensional relevante em meio a dados espaciais que muitas vezes são irrelevantes para a pergunta.
• Generalização: sempre que um objeto cilíndrico precisar ser "encaixado justo" numa caixa de base quadrada, o lado dessa base será igual ao diâmetro do cilindro — nunca ao raio, nunca ao perímetro da base circular.
• Dica de eliminação rápida: calcule o diâmetro (2r) antes de olhar as alternativas. Qualquer opção igual ao raio ou próxima de 2πr (comprimento da circunferência) pode ser descartada de cara.
• Conexões: este raciocínio se conecta a problemas de embalagens cilíndricas em caixas cúbicas e a questões sobre círculos inscritos e circunscritos em polígonos regulares, temas recorrentes em geometria plana e espacial no ENEM.