Questão 156 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (poliedros e sólidos arquimedianos)
• ⚡ Nível: Médio — exige visualização espacial tridimensional e a transposição lógica de "grau do vértice" para "número de vértices novos"
• 🎯 Tema/Habilidade: Truncamento de poliedros de Platão; competência de resolver situações-problema envolvendo propriedades geométricas de espaço e forma
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Ao cortar (truncar) cada um dos 6 vértices de um octaedro regular por um plano, quantos vértices terá o novo sólido formado?"
• Palavras-chave decisivas: truncamento, a partir de cada vértice, pirâmide (seccionamento por um plano)
• Armadilha típica: confundir o número de vértices do sólido novo com o número de faces (14) ou de arestas (36), ou imaginar erroneamente que o corte remove uma pirâmide de base triangular (3 lados) em vez de quadrangular
• O que a resposta precisa demonstrar: que cada vértice original desaparece e é substituído por um polígono cujo número de lados é igual ao grau (valência) daquele vértice — e que somar esses novos vértices dá o total pedido

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Octaedro regular: poliedro de Platão com 6 vértices, 12 arestas e 8 faces triangulares equiláteras. Em cada vértice concorrem exatamente 4 arestas — a valência (grau) do vértice é 4.
• Truncamento (chanfradura) de um vértice: operação que corta o sólido por um plano próximo ao vértice, retirando uma pirâmide cuja base é um polígono com tantos lados quanto o grau daquele vértice; essa base vira uma nova face do sólido truncado.
• Relação de Euler (V − A + F = 2): válida para qualquer poliedro convexo; serve para conferir a consistência do sólido obtido após a operação.
• Sólidos arquimedianos: poliedros semirregulares gerados por truncamentos de sólidos platônicos. O octaedro truncado é um deles, com 8 faces hexagonais e 6 faces quadradas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "retirar, a partir de cada vértice, uma pirâmide obtida pelo seccionamento desse poliedro por um plano" → cada um dos 6 vértices do octaedro é eliminado e substituído por uma nova face poligonal (a base da pirâmide retirada).
• Evidência 2 (figura): a imagem mostra o octaedro com cortes simultâneos em todos os vértices — surgem pequenas faces quadradas nos cantos e as faces triangulares originais viram hexágonos. A legenda "Não há interseção entre duas dessas secções" garante que os cortes são rasos e independentes: nenhum corte invade a região de outro.
• Síntese: como os cortes não se cruzam, cada vértice contribui isoladamente com um conjunto de vértices novos igual ao seu grau. Basta multiplicar o número de vértices do octaedro pelo grau de cada um deles.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o grau de cada vértice do octaedro

O octaedro regular tem 6 vértices e 12 arestas. Cada vértice é ponto de encontro de 4 faces triangulares e, portanto, de 4 arestas. Confirma-se pela contagem: 6 vértices × 4 arestas ÷ 2 (cada aresta é compartilhada por 2 vértices) = 12 arestas — exatamente o valor conhecido do octaedro. Logo, a valência de cada vértice é 4.

Subpasso 4.2 — Contar quantos vértices novos surgem em cada corte

Ao truncar um vértice de grau 4, o plano de corte intercepta as 4 arestas que se encontram nele, um pouco antes do vértice, criando 4 pontos novos (um em cada aresta seccionada). Esses 4 pontos formam os vértices de uma face quadrangular que substitui o vértice original — que some do sólido. Assim, cada vértice original gera exatamente 4 vértices novos.

Subpasso 4.3 — Somar todos os vértices do sólido truncado

O octaedro tem 6 vértices, e a figura confirma que os cortes não se sobrepõem ("não há interseção entre duas dessas secções"), ou seja, cada corte é independente. Logo, o total de vértices do octaedro truncado é:

V = 6 × 4 = 24 vértices

Subpasso 4.4 — Verificação com a Relação de Euler

Para confirmar o valor, calcula-se F e A do sólido truncado. Faces: as 8 faces triangulares originais perdem uma ponta em cada vértice e viram hexágonos (8 hexágonos), somadas às 6 novas faces quadradas de cada corte → F = 8 + 6 = 14. Arestas: as 12 arestas originais permanecem, encurtadas (12), e cada um dos 6 cortes acrescenta 4 novas arestas ao redor do quadrado formado, totalizando 6 × 4 = 24 novas → A = 12 + 24 = 36. Aplicando Euler:

V − A + F = 24 − 36 + 14 = 2 ✓

A relação se confirma perfeitamente, validando que o octaedro truncado tem 24 vértices.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 14.

❌ Incorreta: 14 é o número de faces do octaedro truncado (8 hexágonos + 6 quadrados), não de vértices. É o erro clássico de trocar o elemento pedido (vértices) pelo número de faces do sólido.

B) 18.

❌ Incorreta: esse valor surge se o(a) candidato(a) imaginar, por engano, que a pirâmide retirada em cada vértice tem base triangular (3 lados) — a associação mental mais comum entre "pirâmide" e "base triangular" — e calcular 6 × 3 = 18. O erro está em ignorar que a base da pirâmide seccionada depende do grau do vértice (4, e não 3) no octaedro.

C) 20.

❌ Incorreta: 20 é o número de vértices de outro sólido platônico, o dodecaedro regular (ou de faces do icosaedro). É um erro de confundir as propriedades do octaedro truncado com as de outro poliedro conhecido, sem refazer a contagem específica do enunciado.

D) 24.

✅ Correta: cada um dos 6 vértices do octaedro, de grau 4, ao ser truncado por um plano que não intersecta os cortes vizinhos, gera 4 vértices novos. O total é 6 × 4 = 24, valor confirmado pela Relação de Euler (V − A + F = 24 − 36 + 14 = 2).

E) 36.

❌ Incorreta: 36 é o número de arestas do octaedro truncado (12 arestas originais + 6 × 4 arestas novas dos cortes), não o número de vértices. É o mesmo tipo de troca de elemento visto na alternativa A, agora com arestas no lugar de faces.

🏆 Gabarito: D — o octaedro truncado tem 24 vértices, pois cada um dos 6 vértices originais (grau 4) é substituído por 4 vértices novos ao ser seccionado por um plano que não se sobrepõe aos cortes vizinhos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra D (24) é compatível tanto com a contagem direta (6 vértices × 4 arestas por vértice) quanto com a verificação pela Relação de Euler, que fecha exatamente em V − A + F = 2.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar poliedros truncados ou "cortados" pedindo para o aluno relacionar o grau do vértice original com o número de lados da nova face criada — é uma forma de testar raciocínio espacial sem exigir fórmulas decoradas.
• Generalização: ao truncar todos os vértices de um poliedro regular, o número de vértices do sólido resultante é sempre (número de vértices originais) × (grau de cada vértice), desde que os cortes não se toquem entre si — regra válida para qualquer sólido de Platão.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro se a alternativa parece um número de faces ou de arestas do sólido final (indícios de erro de elemento trocado) — nesta questão, 14 (faces) e 36 (arestas) somem do jogo em segundos, sobrando apenas valores plausíveis de vértices.
• Conexões: sólidos arquimedianos (cuboctaedro, icosaedro truncado — o "clássico" formato de bola de futebol) e a Relação de Euler para poliedros convexos.