Questão 149 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (função de 1º grau) aplicada à conversão entre escalas termométricas
• ⚡ Nível: Médio — exige montar um sistema com dois pontos, deduzir a lei da reta e, na sequência, ler corretamente inclinação e sentido de crescimento em um gráfico com cinco retas concorrentes
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos por função afim; leitura e interpretação gráfica de retas a partir de coeficiente angular e linear
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre cinco retas desenhadas, identifique a que representa X em função de C, sabendo que (0 °C, −10 °X) e (100 °C, 140 °X) são pontos dessa reta."
• Palavras-chave decisivas: ponto de fusão, ponto de ebulição, é uma reta
• Armadilha típica: confundir qual variável está em qual eixo (o gráfico traz T(°X) no eixo vertical e T(°C) no eixo horizontal) e escolher uma reta que "parece" passar perto da origem sem checar os dois pontos exigidos pelo enunciado.
• O que a resposta precisa demonstrar: a reta escolhida precisa satisfazer simultaneamente as duas condições físicas dadas — valer −10 quando C = 0 e valer 140 quando C = 100 — e não apenas ter "aparência" de crescente.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (f(x) = ax + b): toda relação linear entre duas grandezas, como duas escalas termométricas, pode ser descrita por uma reta X = a·C + b, em que a é o coeficiente angular (quanto X varia para cada grau que C varia) e b é o coeficiente linear (valor de X quando C = 0).
• Determinação da reta por dois pontos: dados dois pontos (C₁, X₁) e (C₂, X₂), a inclinação é a = (X₂ − X₁)/(C₂ − C₁); substituindo em X − X₁ = a·(C − C₁) obtém-se a equação completa da reta.
• Leitura gráfica de coeficientes: o sinal de a define se a reta é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0); o módulo de a define "quão inclinada" ela é; b é a altura em que a reta corta o eixo vertical (C = 0).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Uma escala termométrica X marca −10 °X para o ponto de fusão da água e 140 °X para o seu ponto de ebulição" → fornece diretamente dois pares ordenados (C, X): (0, −10) e (100, 140), já que na escala Celsius a fusão é 0 °C e a ebulição é 100 °C.
• Evidência 2: "O gráfico que expressa a relação entre essas duas escalas é uma reta" → garante que o modelo é uma função afim, autorizando usar apenas dois pontos para determinar toda a reta, sem necessidade de mais dados.
• Síntese: com dois pontos conhecidos e a garantia de linearidade, o caminho é calcular a inclinação, escrever X = a·C + b e depois comparar essa reta (sinal do coeficiente e os dois pontos-âncora) com as cinco opções do gráfico.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem do sistema com os dois pontos conhecidos

Os pontos de fusão e ebulição da água, escritos como pares (C, X), são:

• Fusão: C = 0 °C ⟹ X = −10 °X → ponto (0, −10)
• Ebulição: C = 100 °C ⟹ X = 140 °X → ponto (100, 140)

Como a relação é uma reta X = a·C + b, dois pontos bastam para determinar a e b por completo — é exatamente o mesmo raciocínio usado para deduzir a fórmula F = 1,8·C + 32 entre Celsius e Fahrenheit.

Subpasso 4.2 — Determinação da equação da reta X(C)

O coeficiente angular é a razão entre a variação de X e a variação de C entre os dois pontos:

a = (X₂ − X₁)/(C₂ − C₁) = (140 − (−10))/(100 − 0) = 150/100 = 1,5

Com a = 1,5 e usando o ponto (0, −10) para achar b (que já é o próprio valor de X quando C = 0):

X = 1,5·C + b, e como X(0) = −10, então b = −10.

Equação final: X = 1,5·C − 10.

Confirmando com o segundo ponto: X(100) = 1,5 × 100 − 10 = 150 − 10 = 140 ✅ (bate com o ponto de ebulição).

Subpasso 4.3 — Verificação e leitura no gráfico

Agora é preciso achar, entre as cinco retas (I, II, III, IV e V) do gráfico T(°X) × T(°C), aquela que:

1. É crescente (coeficiente angular positivo, a = 1,5 > 0), pois X cresce quando C cresce;
2. Passa pelo ponto (100, 140), evidenciado no próprio gráfico pelas linhas tracejadas que ligam o eixo C = 100 ao eixo X = 140;
3. É relativamente inclinada (mais "em pé" do que a bissetriz X = C), já que a = 1,5 > 1.

No gráfico, a reta II é exatamente essa: cresce da esquerda para a direita, passa pelo ponto (100, 140) marcado pelas linhas pontilhadas, e sua inclinação visível é maior do que 45°, compatível com a = 1,5. As demais retas falham em pelo menos um desses três critérios, como mostra a análise do Passo 5.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I

❌ Incorreta: a reta I é crescente, mas passa pelo ponto (140, 100) — ou seja, para C = 140 ela só atinge X = 100, quando a relação correta exige X = 140 já em C = 100. Isso mostra uma inclinação bem menor que 1,5 (visualmente próxima de 0,7), insuficiente para reproduzir o salto de −10 até 140 no intervalo de 0 a 100 °C.

B) II

✅ Correta: é a única reta crescente que passa pelo ponto (100, 140), coerente com X = 1,5·C − 10. Sua inclinação acentuada (maior que a diagonal a 45°) corresponde ao coeficiente angular a = 1,5, e o cruzamento do eixo C bem próximo da origem (em C = 20/3 ≈ 6,7) é compatível com o coeficiente linear b = −10.

C) III

❌ Incorreta: a reta III é decrescente (desce da esquerda para a direita, atingindo X = 140 quando C = −10). Isso violaria a física do problema: se X diminuísse enquanto C aumenta, a água ferveria em uma temperatura X menor que a de fusão, o que contraria o enunciado (fusão em −10 °X e ebulição em 140 °X, portanto X deve crescer junto com C).

D) IV

❌ Incorreta: a reta IV também é decrescente, porém com inclinação mais suave que a de III. Mesmo erro conceitual de C: um coeficiente angular negativo é logicamente incompatível com o fato de a temperatura de ebulição (mais quente) corresponder a um valor de X maior que a de fusão (mais fria).

E) V

❌ Incorreta: a reta V é crescente e passa perto de (140, 140), ou seja, tem inclinação aproximadamente igual a 1 (a ≈ 1) — como se X fosse numericamente igual a C. Essa reta ignora tanto o deslocamento inicial (b = −10) quanto o fator de escala (a = 1,5): em C = 100 ela indicaria X ≈ 100, não os 140 exigidos pelo ponto de ebulição.

🏆 Gabarito: B — a reta II é a única, entre as cinco, que é crescente e passa pelo ponto (100, 140), satisfazendo integralmente a equação X = 1,5·C − 10 deduzida a partir dos pontos de fusão e ebulição da água.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a reta II concilia simultaneamente crescimento (X aumenta com C) e o ponto obrigatório (100, 140); todas as outras violam pelo menos uma dessas exigências.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrente usa escalas termométricas fictícias (X, Y, Z…) exatamente para testar se o estudante sabe montar uma função afim a partir de dois pontos físicos — é uma aplicação clássica de sistemas lineares 2×2 disfarçada de "física".
• Generalização: sempre que o enunciado fornecer dois pares de valores correspondentes entre grandezas e afirmar (ou implicar) que a relação é linear, calcule a = Δy/Δx e depois b substituindo um dos pontos — essa dupla de coeficientes resolve praticamente qualquer questão de "escala X versus escala Y".
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular qualquer coeficiente, observe apenas o sinal: como o ponto de ebulição (mais quente) precisa corresponder a um X maior que o de fusão (mais frio), toda reta decrescente cai fora imediatamente — isso já elimina III e IV em segundos, sem fazer nenhuma conta.
• Conexões: mesmo raciocínio de F = 1,8·C + 32 (Celsius–Fahrenheit) e, de forma mais ampla, qualquer problema de função afim que peça para "achar a lei da reta a partir de dois pontos" — velocidade constante, custo fixo mais variável, depreciação linear de um bem, etc.