Questão 152 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (equações logarítmicas aplicadas a grandezas físicas)
• ⚡ Nível: Médio — exige isolar a incógnita dentro de um logaritmo e depois desfazer o log usando a definição, o que trava quem não domina a propriedade de mudança de base 10.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de equações logarítmicas em contexto de grandezas e medidas (Competência de Área 2 — construir e interpretar modelos matemáticos aplicados a fenômenos do cotidiano, como acústica).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dada a fórmula n = 20·log(P/P₀), com P₀ = 2×10⁻⁵ N/m² e n = 80 dB, calcule o valor de P."
• Palavras-chave decisivas: nível de pressão sonora (n = 80 dB), P₀ = 2×10⁻⁵ N/m², pressão sonora P (o que se pede)
• Armadilha típica: confundir a variável que se isola. A questão pede P (a pressão sonora medida em N/m²), não n. Muitos alunos tentam substituir valores sem antes isolar corretamente o logaritmo, ou erram a potência de 10 na hora de "desfazer" o log, produzindo resultados como 10³ ou 10⁻³ em vez de 10⁻¹.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de manipular uma equação logarítmica — isolar log(P/P₀), aplicar a definição de logaritmo para eliminá-lo e multiplicar corretamente as potências de 10 até chegar ao valor numérico de P com a ordem de grandeza correta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Logaritmo decimal (log): é o logaritmo na base 10, ou seja, log(x) = log₁₀(x). Responde à pergunta "10 elevado a quanto dá x?". Na acústica, ele é usado porque o ouvido humano percebe intensidade sonora em escala multiplicativa, e o log converte essa escala em uma escala aditiva mais fácil de tabular (o decibel).
• Definição de logaritmo: se log(a) = b, então a = 10^b (na base 10). Essa é a ferramenta central para "desfazer" o logaritmo e isolar a grandeza física que está dentro dele.
• Propriedades de potência (multiplicação de potências de 10): 10^m × 10^n = 10^(m+n). Necessária para combinar P₀ = 2×10⁻⁵ com o fator 10⁴ obtido do logaritmo.
• Grandeza física com notação científica: pressão sonora é expressa em N/m² (newton por metro quadrado) e, por variar em faixas enormes (de 10⁻⁵ a mais de 10² N/m²), é convenientemente escrita em notação científica — daí a necessidade de controlar bem os expoentes de 10.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "n = 20 log(P/P₀)" (fórmula da figura) → define a relação matemática exata entre o nível sonoro n (em dB) e a pressão sonora P (em N/m²), com P₀ fixo como referência.
• Evidência 2: "P₀ = 2 × 10⁻⁵ N/m², uma constante, denominada limiar de percepção do ouvido humano" → fornece o valor numérico de P₀, que deve ser substituído diretamente na fórmula — é um dado fixo, não uma incógnita.
• Evidência 3: "atingiu um nível de pressão sonora de 80 dB" → fornece n = 80, o dado que entra no lugar de n na fórmula para permitir calcular P.
• Síntese: a questão fornece duas das três variáveis da fórmula (n e P₀) e pede a terceira (P). O caminho é substituir os valores conhecidos, isolar o logaritmo, aplicar a definição de log para eliminar a função logarítmica e finalizar com uma multiplicação de potências de 10.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Substituir os valores conhecidos na fórmula

Partindo de n = 20 · log(P/P₀), substitui-se n = 80 e P₀ = 2×10⁻⁵:

80 = 20 · log(P / (2×10⁻⁵))

Subpasso 4.2 — Isolar o logaritmo

Dividindo os dois lados por 20:

log(P / (2×10⁻⁵)) = 80 ÷ 20 = 4

Ou seja, log(P/P₀) = 4.

Subpasso 4.3 — Aplicar a definição de logaritmo para eliminar o log

Pela definição, se log(a) = 4 (base 10 implícita), então a = 10⁴. Logo:

P / (2×10⁻⁵) = 10⁴

Subpasso 4.4 — Isolar P e multiplicar as potências de 10

Multiplicando os dois lados por 2×10⁻⁵:

P = 10⁴ × 2×10⁻⁵ = 2 × 10^(4 + (−5)) = 2 × 10⁻¹ N/m²

Subpasso 4.5 — Verificação

Confirmando o resultado: se P = 2×10⁻¹, então P/P₀ = (2×10⁻¹)/(2×10⁻⁵) = 10⁴. E log(10⁴) = 4. Multiplicando por 20: n = 20 × 4 = 80 dB — exatamente o valor dado no enunciado. O resultado bate perfeitamente e corresponde à alternativa C) 2 × 10⁻¹.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 8 × 10⁻⁵

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro de operação com a constante P₀, como multiplicar 2×10⁻⁵ por 4 (em vez de multiplicar por 10⁴), confundindo a operação "log(P/P₀) = 4" com "P/P₀ = 4". O aluno erra ao não aplicar a definição de logaritmo corretamente, tratando o "4" como fator direto em vez de expoente de 10.

B) 5 × 10⁻²

❌ Incorreta: resulta de inverter a razão P/P₀ (calculando P₀/P) ou de dividir em vez de multiplicar as potências de 10, produzindo um expoente e um coeficiente que não correspondem à manipulação correta da equação 10⁴ × 2×10⁻⁵.

C) 2 × 10⁻¹

✅ Correta: é exatamente o valor obtido ao isolar corretamente log(P/P₀) = 4, aplicar a definição de logaritmo (P/P₀ = 10⁴) e multiplicar 10⁴ por P₀ = 2×10⁻⁵, chegando a P = 2×10⁻¹ N/m² (ou 0,2 N/m²), valor coerente com pressões sonoras de ruídos intensos como som automotivo.

D) 1 × 10³

❌ Incorreta: expoente típico de quem esquece de multiplicar pela constante P₀ = 2×10⁻⁵ e trata P como se fosse igual apenas a uma potência de 10 mal calculada (por exemplo, confundindo 20 log com log₂₀ ou operando 80/20 de forma equivocada e propagando o erro na potência final).

E) 2 × 10⁹

❌ Incorreta: erro grosseiro de sinal no expoente — ocorre quando se soma os expoentes 4 e 5 sem observar que o expoente de P₀ é negativo (10⁻⁵), obtendo 10⁹ em vez de 10⁻¹. Esse é o erro mais "explosivo" em termos de ordem de grandeza e o mais fácil de descartar por bom senso físico: uma pressão sonora de 2×10⁹ N/m² é fisicamente absurda para um som automotivo (seria da ordem de uma explosão nuclear).

🏆 Gabarito: C — a manipulação correta da equação logarítmica n = 20·log(P/P₀), isolando o log, aplicando sua definição e multiplicando as potências de 10 com os sinais corretos, leva a P = 2×10⁻¹ N/m², única alternativa consistente com os dados e com a verificação por substituição.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra C é a única que satisfaz simultaneamente a equação original e o teste de verificação (substituir P de volta na fórmula e recuperar n = 80 dB), o que a confirma como resposta inequívoca.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente usa fórmulas logarítmicas de grandezas físicas (decibel, pH, escala Richter, magnitude estelar) como "casca" para testar a habilidade pura de resolver equações com log — o contexto muda, mas a estrutura matemática (isolar o log, aplicar a definição, operar potências de 10) se repete quase identicamente.
• Generalização: sempre que uma fórmula tiver a forma y = k·log(x/x₀), o caminho é: (1) substituir os valores conhecidos; (2) dividir por k para isolar log(x/x₀); (3) usar a definição de logaritmo para transformar log(x/x₀) = m em x/x₀ = 10^m; (4) multiplicar por x₀ para isolar x, somando os expoentes de 10 com atenção aos sinais.
• Dica de eliminação rápida: antes mesmo de calcular, use a ordem de grandeza para eliminar alternativas absurdas — como P₀ é da ordem de 10⁻⁵ e o expoente do log resultou em um número pequeno (4), o resultado final não pode saltar para 10³ ou 10⁹ (D e E ficam fisicamente implausíveis); isso já reduz a análise a A, B e C, entre as quais a verificação por substituição decide com segurança.
• Conexões: essa mesma lógica de equação logarítmica aparece em questões de escala Richter (magnitude de terremotos), pH de soluções em Química e crescimento populacional/juros compostos em Matemática Financeira — vale revisar esses temas em conjunto.