Questão 151 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria plana (classificação de triângulos) e simetria axial (dobradura como reflexão)
• ⚡ Nível: Médio — não exige contas numéricas, mas exige traduzir corretamente a dobradura em uma reflexão geométrica e rastrear quais ângulos e distâncias ela preserva
• 🎯 Tema/Habilidade: Classificar um triângulo (quanto a ângulos e lados) construído por uma transformação geométrica (reflexão/dobradura) — reconhecer invariantes de uma simetria axial
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Depois de duas dobraduras sucessivas em uma folha retangular, diga se o triângulo NPQ formado é acutângulo, retângulo ou obtusângulo, e se é escaleno, isósceles ou equilátero."
• Palavras-chave decisivas: dobradura (= reflexão, que preserva distâncias e ângulos), N fixo, sobrepondo CN a um segmento de MN
• Armadilha típica: achar que o ângulo reto do retângulo em N "passa inteiro" para o triângulo NPQ. Na verdade, a dobra reparte esse ângulo de 90° ao meio — quem herda o ângulo reto é outro vértice.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar corretamente qual vértice de NPQ recebe o ângulo de 90° e mostrar, com base na dobra, quais dois lados são necessariamente iguais.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Dobradura = reflexão (simetria axial): a linha de dobra funciona como um espelho. Todo ponto do eixo de dobra fica parado (é fixo), e a distância de um ponto fixo do eixo até qualquer outro ponto se mantém exatamente igual antes e depois da dobra.
• Ângulos numa reflexão: reflexões preservam ângulos — se um ângulo media X° antes da dobra, sua imagem também mede X° depois.
• Retângulo: todos os quatro ângulos internos medem 90°; lados opostos são iguais e paralelos.
• Classificação de triângulos: por ângulo — acutângulo (todos < 90°), retângulo (um = 90°), obtusângulo (um > 90°); por lado — escaleno (todos diferentes), isósceles (dois iguais), equilátero (todos iguais, sempre com ângulos de 60°).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "sobrepondo o lado DC ao lado AB" → a primeira dobra é uma reflexão que leva D em A e C em B; a linha de dobra MN é a mediatriz de AD e BC, e o retângulo menor DCNM fica com DC = MN (largura) e DM = CN (metade da altura da folha original).
• Evidência 2: "mantendo N fixo e sobrepondo o lado CN, de DCNM, a um segmento de MN" → a segunda dobra é uma reflexão cujo eixo passa por N (por isso N não se move) e que faz o lado vertical CN "deitar" sobre o lado horizontal MN. Como o ângulo entre CN e MN, no vértice N do retângulo DCNM, é de 90°, a única reta que consegue refletir a direção vertical exatamente sobre a horizontal é a bissetriz desse ângulo reto — logo o vinco NQ faz 45° com cada lado.
• Síntese: a segunda dobra é a reflexão do "cantinho" triângulo NCQ em torno da reta NQ (bissetriz do ângulo reto em N). O vértice C vai parar exatamente em P, sobre MN, e o triângulo NPQ visível na Figura 2 é a imagem desse cantinho refletido.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando o triângulo "cantinho" antes da dobra (△NCQ)

No retângulo DCNM, o vértice N é o encontro do lado NC (vertical) com o lado NM (horizontal), formando ali um ângulo reto — herdado diretamente do retângulo original. Como Q está sobre o lado DC (o topo do retângulo), o segmento CQ é horizontal e o segmento CN é vertical, de modo que o ângulo do retângulo em C, ∠NCQ, também mede 90°.

Para que a dobra faça CN se sobrepor exatamente a MN, a reta de dobra NQ precisa ser a bissetriz do ângulo reto ∠CNM: ∠CNQ = 90° ÷ 2 = 45°.

Pela soma dos ângulos internos do triângulo: ∠NQC = 180° − 90° − 45° = 45°.

Ou seja, antes mesmo de dobrar, o triângulo NCQ já tem ângulos 45° (em N), 90° (em C) e 45° (em Q).

Subpasso 4.2 — Aplicando a reflexão (C vira P)

A segunda dobra é justamente a reflexão desse triângulo em torno da reta NQ. Como toda reflexão preserva ângulos e distâncias a partir dos pontos do próprio eixo:

• ∠QNP = ∠QNC = 45° (o ângulo em N não muda, pois N está sobre o eixo de dobra);
• ∠NPQ = ∠NCQ = 90° (o ângulo que estava em C "viaja" junto com o ponto, até sua imagem P);
• ∠NQP = ∠NQC = 45° (o ângulo em Q não muda, pois Q também está sobre o eixo).

Quanto aos lados: NP = NC (distância a partir do ponto fixo N é preservada) e QP = QC (distância a partir do ponto fixo Q é preservada). O lado NQ é o próprio eixo de dobra, comum aos dois triângulos.

Subpasso 4.3 — Classificando o triângulo NPQ e verificação

Ângulos de NPQ: 45° (N), 90° (P), 45° (Q) → existe um ângulo reto ⇒ triângulo retângulo, com o ângulo reto no vértice P.

Lados: como ∠N = ∠Q = 45° (ângulos iguais), os lados opostos a eles são iguais entre si — o lado oposto a N é PQ, o lado oposto a Q é NP, logo PQ = NP. Esses dois lados são os catetos (adjacentes ao ângulo reto em P).

Chamando essa medida comum de h (h = NP = PQ = NC), o Teorema de Pitágoras dá a hipotenusa: NQ = √(h² + h²) = h√2. Como h ≠ h√2, o terceiro lado é diferente dos outros dois ⇒ isósceles, mas não equilátero (equilátero exigiria os três ângulos iguais a 60°, o que já foi descartado pelo ângulo de 90°).

Conclusão do Passo 4: o triângulo NPQ é retângulo e isósceles não equilátero.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) acutângulo e escaleno.

❌ Incorreta: a dobra gera um ângulo de 90° no vértice P (herdado do ângulo reto que existia originalmente no vértice C do retângulo). Um triângulo com ângulo de 90° nunca pode ser acutângulo, pois acutângulo exige que os três ângulos sejam menores que 90°.

B) acutângulo e isósceles não equilátero.

❌ Incorreta: acerta a relação entre os lados (NP = PQ, de fato isósceles), mas erra a classificação angular — como há um ângulo de 90° em P, o triângulo é retângulo, e não acutângulo.

C) acutângulo e equilátero.

❌ Incorreta nas duas frentes: o ângulo reto em P já descarta "acutângulo", e os ângulos distintos (45°, 45°, 90°) descartam "equilátero", que exigiria os três ângulos iguais a 60° e os três lados idênticos.

D) retângulo e escaleno.

❌ Incorreta: acerta que o triângulo é retângulo (ângulo de 90° em P), mas erra nos lados. Como ∠N = ∠Q = 45° (ângulos congruentes), os lados opostos a eles — PQ e NP — são necessariamente iguais; o triângulo não pode ser escaleno.

E) retângulo e isósceles não equilátero.

✅ Correta: é exatamente o que a construção geométrica produz. O ângulo reto em P vem do ângulo de 90° original do retângulo em C, preservado pela reflexão; os catetos NP e PQ são iguais porque são as imagens de NC e QC, distâncias preservadas a partir dos pontos fixos N e Q do eixo de dobra; e a hipotenusa NQ = NP√2 é maior que os catetos, o que impede o triângulo de ser equilátero.

🏆 Gabarito: E — O triângulo NPQ é a imagem, por reflexão, do "cantinho" retângulo isósceles NCQ (ângulos 45°-90°-45°), formado quando a segunda dobra faz o lado CN se sobrepor ao lado MN; por isso ele é retângulo (90° em P) e isósceles não equilátero (catetos NP = PQ, hipotenusa NQ = NP√2).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como a reflexão preserva ângulos e distâncias a partir dos pontos fixos do eixo (N e Q), o triângulo resultante herda obrigatoriamente um ângulo de 90° (do canto original do retângulo, agora em P) e dois lados iguais (NP = NC e QP = QC) — só a alternativa E combina corretamente essas duas propriedades.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa dobraduras e origami como pretexto recorrente para testar simetria axial. A régua de ouro é sempre separar "o que muda" (posição dos pontos) de "o que não muda" (distâncias e ângulos medidos a partir de pontos do próprio eixo de dobra).
• Generalização: em qualquer problema de dobradura, localize primeiro o eixo de dobra (reta de reflexão). Todo ponto sobre esse eixo permanece fixo e preserva suas distâncias e ângulos até qualquer outro ponto do plano — isso resolve a questão sem nenhuma conta numérica de medidas absolutas.
• Dica de eliminação rápida: quando o enunciado descreve uma dobra que faz um lado "deitar" sobre outro lado perpendicular a ele, desconfie sempre de um triângulo retângulo 45°-45°-90° (a dobra bissecta o ângulo reto). Isso já elimina de cara qualquer alternativa que mencione "acutângulo" (A, B e C nesta questão).
• Conexões: simetria axial e transformações geométricas; Teorema de Pitágoras; a "razão de prata" usada em dobraduras clássicas de aviões de papel.