Questão 168 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Exponencial (modelagem de decaimento)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar a equação a partir de dados reais e calcular uma potência de expoente 6 sem calculadora.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos com função exponencial decrescente (depreciação de bens) — competência de área ligada à construção de modelos matemáticos para situações do cotidiano.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado um modelo exponencial V(n) = V₀·qⁿ que descreve a desvalorização de um carro, descubra o valor de mercado (em milhar de reais) após 6 anos de uso."
• Palavras-chave decisivas: modelo exponencial, fator de desvalorização (q), ao final de seis anos
• Armadilha típica: tratar a desvalorização como linear (subtrair sempre R$ 2 700,00 por ano, já que foi essa a queda do ano 1 para o ano 2) em vez de perceber que a queda percentual é constante — esse erro leva a um valor bem menor que o correto.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair o fator constante de multiplicação (razão q) a partir de dois valores consecutivos da tabela e aplicá-lo corretamente seis vezes a partir do valor inicial.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função exponencial: função do tipo f(n) = a·qⁿ, em que a variável independente n aparece no expoente; descreve crescimentos ou decrescimentos em que a variação relativa (percentual) é constante a cada unidade de n.
• Fator de desvalorização (razão q): número pelo qual o valor anterior é multiplicado para gerar o valor seguinte. Se q < 1, há decrescimento (desvalorização); se q > 1, há crescimento.
• Progressão geométrica (PG): os valores V(0), V(1), V(2), V(3)... formam uma PG de razão q, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante — é exatamente essa a estrutura escondida na tabela do enunciado.
• Potenciação com expoente inteiro: para prever V(6), basta elevar q à sexta potência e multiplicar pelo valor inicial V₀, sem precisar repetir a multiplicação ano a ano.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "vendido por R$ 30 000,00" → este é o valor inicial V₀, correspondente a n = 0 (o instante da venda, antes de qualquer desvalorização).
• Evidência 2: "ao final de um ano, R$ 27 000,00; ao final de dois anos, R$ 24 300,00; ao final de três anos, R$ 21 870,00" → três pontos consecutivos da função V(n), que permitem confirmar que a razão entre valores consecutivos é sempre a mesma (comportamento de PG, não de PA).
• Síntese: Basta usar V₀ e um único valor conhecido (por exemplo, V(1)) para determinar q algebricamente; os demais valores da tabela servem apenas para confirmar que o modelo é de fato exponencial com essa razão constante. Depois, projeta-se V(6) elevando q à sexta potência.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o fator de desvalorização q

O modelo é V(n) = V₀ · qⁿ, com V₀ = 30 000 (valor no instante da venda, n = 0).

Usando o valor após 1 ano, V(1) = 27 000:

27 000 = 30 000 · q¹

q = 27 000 ÷ 30 000 = 0,9

Ou seja, a cada ano o carro conserva 90% do valor do ano anterior — perde 10% ao ano.

Subpasso 4.2 — Confirmar o modelo com os demais dados da tabela

V(2) = 30 000 · (0,9)² = 30 000 · 0,81 = 24 300 ✓ (bate com o enunciado)

V(3) = 30 000 · (0,9)³ = 30 000 · 0,729 = 21 870 ✓ (bate com o enunciado)

A confirmação com dois pontos independentes garante que q = 0,9 é o fator correto e que o comportamento é realmente exponencial (não apenas coincidência entre dois valores).

Subpasso 4.3 — Calcular V(6)

Como (0,9)⁶ = [(0,9)³]², aproveitamos o valor já calculado (0,9)³ = 0,729:

(0,9)⁶ = 0,729 × 0,729 = 0,531441

Logo:

V(6) = 30 000 · 0,531441 = 15 943,23

Convertendo para milhar de real e arredondando para uma casa decimal:

V(6) ≈ 15,9 (milhar de reais)

Subpasso 4.4 — Verificação

Confira a ordem de grandeza: em 3 anos o carro caiu de 30 000 para 21 870 (perdeu cerca de 27%). Em mais 3 anos (do ano 3 ao ano 6), espera-se uma nova queda proporcional de ~27% sobre 21 870:

21 870 × 0,729 ≈ 15 943

O resultado bate exatamente com o cálculo direto, confirmando que V(6) ≈ 15,9 mil reais. Esse valor está entre as alternativas D e nenhuma outra é compatível com a ordem de grandeza esperada.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 13,7.

❌ Incorreta: esse valor corresponde a um decaimento mais acentuado do que o real, como se surgisse de aplicar uma razão menor que 0,9 (por exemplo, arredondamentos incorretos ou uso de um expoente 7 em vez de 6). Não corresponde a 30 000 × (0,9)⁶.

B) 14,3.

❌ Incorreta: é um valor próximo, mas resulta de erro de cálculo na potenciação (por exemplo, calcular (0,9)⁶ de forma aproximada e por falta, arredondando demais em etapas intermediárias) — não reflete o produto exato 30 000 × 0,531441.

C) 14,6.

❌ Incorreta: assim como a alternativa B, é um valor "vizinho" da resposta certa, coerente com quem comete pequenos erros de arredondamento ao multiplicar 0,9 por si mesma seis vezes, mas não é o resultado exato da potência.

D) 15,9.

✅ Correta: é exatamente o resultado de V(6) = 30 000 · (0,9)⁶ = 30 000 × 0,531441 = 15 943,23, que arredondado para uma casa decimal em milhares corresponde a 15,9.

E) 17,7.

❌ Incorreta: é um valor mais alto que o correto, compatível com o erro clássico de tratar a desvalorização como linear — por exemplo, admitir que o carro perde sempre R$ 2 130,00 por ano (a queda observada do ano 2 para o 3) a partir de 21 870, gerando 21 870 − 3×2 130 = 15 480, ou outras variações de raciocínio aditivo que subestimam a aceleração da perda percentual composta. Qualquer abordagem linear (função afim) para esse fenômeno gera valores incompatíveis com o modelo exponencial pedido no enunciado.

🏆 Gabarito: D — O modelo exponencial V(n) = 30 000 · (0,9)ⁿ, obtido a partir dos dados da tabela, fornece V(6) = 30 000 × 0,531441 ≈ 15 943,23, ou seja, aproximadamente 15,9 mil reais.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra D é a única compatível com o cálculo exato de 30 000 × (0,9)⁶; qualquer outro valor exige um erro de conta ou uma interpretação linear equivocada do problema.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente funções exponenciais em contextos de depreciação de bens, juros compostos, crescimento populacional e decaimento radioativo — sempre com a mesma estrutura: dados de duas ou três "fotografias" do fenômeno para descobrir a razão q e depois extrapolar para um tempo maior.
• Generalização: sempre que um fenômeno apresentar razão constante entre termos consecutivos (e não diferença constante), o modelo correto é exponencial (V(n) = V₀·qⁿ), e não linear (V(n) = V₀ + kn). Para achar q, basta dividir um termo pelo termo anterior.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente (0,9)² = 0,81 e (0,9)³ ≈ 0,73; como (0,9)⁶ é o quadrado de (0,9)³, o resultado deve ficar perto de 0,73² ≈ 0,53 — ou seja, o valor final deve ser pouco mais da metade de 30 000 (por volta de 16 mil). Isso já elimina de cara valores muito baixos (A) e muito altos (E), restando comparar B, C e D com mais cuidado.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a questões de juros compostos (montante M = C·(1+i)ⁿ) e a problemas de meia-vida radioativa, todos baseados na mesma estrutura de progressão geométrica escondida em uma função exponencial.