Questão 170 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (função do 1º grau) e taxa de variação
• ⚡ Nível: Médio — a leitura gráfica é simples, mas exige entender que a taxa de variação (e não os valores absolutos dos pontos) é o que rege a proporção entre os aumentos de temperatura.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos com taxa constante (função afim) e interpretação de gráficos cartesianos — competência de resolver situações-problema que envolvam variáveis relacionadas linearmente.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Se y₁ sobe 20 °C em certo intervalo de tempo, quanto y₂ sobe nesse mesmo intervalo?"
• Palavras-chave decisivas: mesmo intervalo de tempo, semirretas com origem em A, aumentou 20 °C
• Armadilha típica: comparar diretamente os números dos pontos B e C (50 e 30) ou supor que as duas temperaturas sobem na mesma proporção do gráfico, sem calcular as taxas de variação (coeficientes angulares) de cada reta.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de escrever a lei de cada reta a partir de dois pontos, transformar o aumento de y₁ em um intervalo de tempo Δt e aplicar esse mesmo Δt à segunda reta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (y = at + b): modelo que descreve qualquer grandeza que varia a uma taxa constante por unidade de tempo — aqui, a temperatura de cada objeto durante o aquecimento.
• Coeficiente angular (taxa de variação): a = Δy/Δt. É o "quanto a grandeza sobe a cada segundo"; graficamente, é a inclinação da reta.
• Proporcionalidade entre variações: como a taxa é constante ao longo de toda a semirreta, para um mesmo Δt vale sempre Δy = a·Δt — não importa em que ponto do gráfico esse intervalo começa.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "temperatura inicial igual a 10 °C" + "semirretas com origem no ponto A(0 ; 10)" → confirma que as duas retas nascem no mesmo ponto (t = 0, y = 10), ou seja, mesmo termo independente b = 10 para y₁ e y₂.
• Evidência 2: "passam, respectivamente, pelos pontos B(20 ; 50) e C(40 ; 30)" → fornece o segundo ponto de cada reta, suficiente para calcular os dois coeficientes angulares.
• Evidência 3: "em determinado intervalo de tempo, a temperatura y₁ aumentou 20 °C" → define Δy₁ = 20 sem dizer onde o intervalo começa — mas, como as funções são afins (taxa constante), isso é irrelevante: o Δt correspondente é sempre o mesmo, dado por Δy₁/a₁.
• Síntese: o caminho é montar as duas leis horárias y₁(t) e y₂(t), usar o aumento conhecido de y₁ para descobrir Δt e, com esse mesmo Δt, calcular Δy₂ pela taxa de variação de y₂.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Lei de formação de y₁

A reta y₁ passa por A(0 ; 10) e B(20 ; 50). O coeficiente angular é:

a₁ = (50 − 10) / (20 − 0) = 40/20 = 2 °C/s

Como o coeficiente linear é 10 (valor de y quando t = 0), a lei é: y₁(t) = 10 + 2t

Subpasso 4.2 — Lei de formação de y₂

A reta y₂ passa por A(0 ; 10) e C(40 ; 30). O coeficiente angular é:

a₂ = (30 − 10) / (40 − 0) = 20/40 = 0,5 °C/s

Logo: y₂(t) = 10 + 0,5t

Subpasso 4.3 — Encontrar Δt a partir do aumento de y₁

Se y₁ aumentou 20 °C em um intervalo Δt, então:

Δy₁ = a₁ · Δt → 20 = 2 · Δt → Δt = 10 s

(Esse valor de Δt independe do instante em que o intervalo começa, pois a taxa 2 °C/s é constante em toda a semirreta.)

Subpasso 4.4 — Calcular Δy₂ com o mesmo Δt

Aplicando o Δt = 10 s à taxa de y₂:

Δy₂ = a₂ · Δt = 0,5 × 10 = 5 °C

Subpasso 4.5 — Verificação por atalho (razão das inclinações)

Como as duas retas partem do mesmo ponto A, dá para pular direto para a razão entre as taxas:

Δy₂ = (a₂/a₁) · Δy₁ = (0,5/2) × 20 = 0,25 × 20 = 5 °C

Os dois caminhos batem exatamente em 5 °C — o objeto mais lento (y₂) esquenta 4 vezes mais devagar que y₁, então sobe exatamente 1/4 do que y₁ subiu no mesmo tempo.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 5

✅ Correta: é exatamente o valor de Δy₂ = a₂ · Δt = 0,5 × 10, confirmado também pela razão das inclinações (a₂/a₁) × 20 = 5. Único valor compatível com as duas retas descritas no gráfico.

B) 10

❌ Incorreta: é o valor de Δt (10 segundos), não de Δy₂. Quem erra aqui calcula corretamente o intervalo de tempo mas confunde a unidade — troca "segundos decorridos" por "graus que y₂ subiu", um erro de dimensão clássico.

C) 15

❌ Incorreta: é o valor final de y₂ no instante t = 10 (y₂(10) = 10 + 0,5×10 = 15), não o aumento. Esse erro ocorre quando o estudante calcula corretamente y₂ no novo instante, mas esquece de subtrair a temperatura inicial (10 °C) para obter a variação pedida.

D) 20

❌ Incorreta: repete o valor de Δy₁ dado no enunciado, como se as duas temperaturas subissem à mesma taxa. Ignora que as inclinações das retas (2 °C/s para y₁ e 0,5 °C/s para y₂) são diferentes — o gráfico mostra claramente que y₁ é bem mais "inclinada" que y₂.

E) 50

❌ Incorreta: é o valor da coordenada y do ponto B (50), copiado diretamente do gráfico sem nenhum cálculo de taxa de variação ou de intervalo de tempo — uma leitura superficial que ignora todo o enunciado sobre "mesmo intervalo de tempo".

🏆 Gabarito: A — como y₂ cresce a uma taxa 4 vezes menor que y₁ (0,5 °C/s contra 2 °C/s), no mesmo intervalo de 10 s em que y₁ sobe 20 °C, y₂ sobe exatamente 1/4 disso: 5 °C.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: as taxas de variação (2 °C/s e 0,5 °C/s) são fixas ao longo de toda a semirreta; logo, para qualquer intervalo de tempo igual, a razão entre os aumentos de y₁ e y₂ é sempre a razão entre essas taxas (1/4). Aplicando a Δy₁ = 20, obtém-se Δy₂ = 5 °C sem margem para outro resultado.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência funções afins representadas por retas em gráficos cartesianos, pedindo para extrair o coeficiente angular a partir de dois pontos e interpretá-lo como taxa de variação em contextos físicos (temperatura, custo, velocidade, vazão, etc.).
• Generalização: para duas funções afins com o mesmo ponto de partida (mesmo t inicial e mesmo valor inicial), a razão entre as variações Δy em um intervalo igual de tempo é sempre igual à razão entre seus coeficientes angulares — não depende de onde o intervalo começa.
• Dica de eliminação rápida: calcule as duas inclinações antes de qualquer coisa (a₁ = 2, a₂ = 0,5). Qualquer alternativa igual a um número que já aparece pronto no gráfico (como 50, a ordenada de B) ou igual ao próprio Δt em segundos (10) pode ser descartada de cara — ela não passou pelo cálculo de taxa de variação.
• Conexões: razão e proporção; interpretação gráfica de fenômenos físicos (aquecimento linear, termometria); sistemas de duas retas com coeficiente linear comum.