Questão 105 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Física → Termodinâmica (equação geral dos gases ideais) + leitura de gráficos da atmosfera + geometria do volume esférico
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar dados de dois gráficos distintos, aplicar a lei geral dos gases e converter razão de volume em razão de raio via raiz cúbica
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação da equação de Clapeyron (PV = nRT) entre dois estados de um gás confinado, articulada com a relação V ∝ r³ de uma esfera; competência de leitura e cruzamento de dados gráficos em contexto físico real
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual o fator multiplicativo do raio do balão entre o lançamento (nível do mar) e o instante do estouro (altitude de 20000 m)?"
• Palavras-chave decisivas: 20000 m de altitude, volume atingir o valor limite, quantas vezes o raio... deve aumentar
• Armadilha típica: confundir a relação entre volume e raio de uma esfera (elevar ao cubo, não ao quadrado) e/ou esquecer de considerar a variação de temperatura junto com a pressão ao aplicar a lei dos gases.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair pares (P, T) corretos de dois gráficos diferentes, usar a lei geral dos gases para achar a razão de volumes e converter essa razão em razão de raios com o expoente geométrico correto.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Equação geral dos gases ideais: para uma quantidade fixa de gás (o balão é um sistema fechado), P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ relaciona pressão, volume e temperatura absoluta entre dois estados.
• Pressão interna = pressão atmosférica: o enunciado afirma que a pressão dentro do balão depende só da pressão externa, então os valores de P podem ser lidos diretamente no gráfico Pressão × Altitude.
• Volume da esfera: V = (4/3)πr³, ou seja, V é proporcional ao cubo do raio. Assim, qualquer razão de volumes vira razão de raios ao ser elevada a 1/3.
• Leitura de gráficos duplos: é preciso localizar a mesma altitude (0 km e 20 km) em dois gráficos diferentes — um de temperatura, outro de pressão — para montar os pares de estado completos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o balão precisa estourar quando atingir a altitude desejada... o que ocorrerá quando seu volume atingir o valor limite" → o estado final de interesse é justamente a 20 km, altitude em que o volume crítico (de estouro) é alcançado.
• Evidência 2: "considera-se o gás dentro do balão... como gases ideais" → autoriza aplicar PV = nRT (ou a forma combinada P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂) ao gás interno do balão.
• Evidência 3: "a pressão interna ao balão depende somente da pressão atmosférica" → dispensa qualquer cálculo extra de tensão da membrana do balão: P interna(altitude) = P atmosférica(altitude), lida direto no gráfico.
• Síntese: a pergunta pede r(20 km)/r(0 km). O caminho é: (1) ler T e P nos dois estados nos gráficos; (2) achar V₂/V₁ pela lei geral dos gases; (3) extrair a raiz cúbica de V₂/V₁ para obter a razão de raios, já que V ∝ r³.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Leitura dos gráficos nos dois estados

No nível do mar (altitude = 0 km), a curva de temperatura começa em T₁ = 300 K e a curva de pressão começa em P₁ = 100 kPa.

Na altitude de 20 km (instante do estouro), o gráfico Temperatura × Altitude mostra que 20 km é exatamente o ponto de mínimo da curva — a transição entre troposfera e estratosfera —, onde T₂ = 240 K. No gráfico Pressão × Altitude, em 20 km a curva passa por P₂ = 10 kPa.

Subpasso 4.2 — Aplicando a lei geral dos gases ideais

Como a quantidade de gás dentro do balão não muda (sistema fechado) entre o lançamento e o estouro:

P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

Isolando a razão de volumes:

V₂/V₁ = (P₁/P₂) × (T₂/T₁)

V₂/V₁ = (100/10) × (240/300) = 10 × 0,80 = 8,00

Subpasso 4.3 — Verificação (convertendo razão de volumes em razão de raios)

Como V = (4/3)πr³, tem-se V ∝ r³, logo V₂/V₁ = (r₂/r₁)³. Então:

r₂/r₁ = (V₂/V₁)^(1/3) = 8^(1/3) = 2,00

Conferindo: 2³ = 8, que bate exatamente com V₂/V₁ calculado no Subpasso 4.2. O valor 2,00 corresponde à alternativa D. ✅

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10,00

❌ Incorreta: esse valor é P₁/P₂ = 100/10 = 10, obtido por quem ignora completamente a variação de temperatura entre os dois estados (trata o processo como se fosse isotérmico) e, além disso, esquece de extrair a raiz cúbica — confunde a razão de pressões diretamente com a razão de raios.

B) 8,00

❌ Incorreta: é exatamente a razão de volumes V₂/V₁ = 8,00, corretamente calculada pela lei geral dos gases, mas sem o passo geométrico final. Quem marca essa alternativa esquece que V ∝ r³ e trata a razão de volume como se já fosse a razão de raio.

C) 2,83

❌ Incorreta: corresponde a √8 ≈ 2,83, resultado de quem aplica raiz quadrada em vez de raiz cúbica — um erro clássico de confundir a proporcionalidade do volume da esfera (V ∝ r³) com a de uma área (A ∝ r²), como se o balão "crescesse" em superfície e não em volume.

D) 2,00

✅ Correta: resulta de combinar corretamente P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ (que dá V₂/V₁ = 8,00) com a relação geométrica correta V ∝ r³, extraindo a raiz cúbica: 8^(1/3) = 2,00.

E) 1,25

❌ Incorreta: é T₁/T₂ = 300/240 = 1,25, valor de quem considera apenas a variação de temperatura (e ainda invertida) e ignora por completo a queda de pressão atmosférica com a altitude — um raciocínio incompleto que descarta metade da informação necessária.

🏆 Gabarito: D — a razão de raios só é obtida corretamente combinando a lei geral dos gases (P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂, dando V₂/V₁ = 8,00) com a relação geométrica V ∝ r³ de uma esfera, resultando em r₂/r₁ = 8^(1/3) = 2,00.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa compatível simultaneamente com a leitura correta dos dois gráficos, com a lei geral dos gases e com a proporcionalidade V ∝ r³ de uma esfera — todas as demais surgem de omitir uma dessas três etapas.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cobrar gases ideais em contextos aplicados (balões, seringas, pneus, atmosfera), sempre exigindo que o estudante extraia variáveis de estado (P, V, T) de textos ou gráficos antes de aplicar PV = nRT ou a lei geral dos gases.
• Generalização: sempre que a pergunta for "quantas vezes X aumenta" envolvendo um gás confinado em um recipiente de forma conhecida (esfera, cilindro, cubo), primeiro calcule a razão de volumes pela lei dos gases e só depois converta para a grandeza linear pedida (raio, altura, aresta), usando o expoente correto da relação geométrica (r³ para esfera, r² para área, etc.).
• Dica de eliminação rápida: se aparecer a razão pura de pressões (aqui, 10,00), ela provavelmente ignorou a temperatura — descarte. Se aparecer a razão de volumes sem conversão geométrica (aqui, 8,00), faltou a raiz cúbica — descarte. Sobra a alternativa que passou pelas duas etapas.
• Conexões: leis de Boyle, Charles e Gay-Lussac; equação de Clapeyron (PV = nRT); razões de escala entre volume, área e comprimento em sólidos geométricos.