Questão 179 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (semelhança de sólidos) e Funções (modelagem com vazão constante)
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar volume de pirâmide, razão de semelhança ao cubo e taxa de variação (vazão) numa única expressão algébrica
• 🎯 Tema/Habilidade: Volume de sólidos semelhantes aplicado à modelagem de um fenômeno físico (competência de resolver situação-problema com conhecimentos geométricos e funcionais)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determine h(t), a altura da coluna de líquido dentro do tanque piramidal, sabendo a capacidade total, a altura total do tanque e a vazão constante de enchimento."
• Palavras-chave decisivas: pirâmide reta de base quadrada, vazão constante, altura em função do tempo
• Armadilha típica: tratar o tanque como se tivesse seção transversal constante (como um cilindro ou um prisma), calculando h simplesmente como (vazão × t) ÷ área da base — ignorando que, numa pirâmide com o vértice para baixo, a seção transversal do líquido aumenta à medida que h cresce. Por isso h não varia linearmente com t: varia com ∛t.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de relacionar o volume de um sólido semelhante ao original (razão de semelhança elevada ao cubo) com uma equação de vazão (V = Q·t), isolando corretamente h em função de t.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume da pirâmide: V = (1/3)·A_base·altura — fórmula usada primeiro "de trás para frente", para descobrir a área da base do tanque a partir da capacidade e da altura totais informadas.
• Semelhança de sólidos: ao cortar uma pirâmide por um plano paralelo à base, o sólido menor formado (do vértice até o corte) é semelhante ao sólido original. A razão entre comprimentos lineares (lado, altura) é constante; a razão entre áreas é essa razão ao quadrado; e a razão entre volumes é essa razão ao cubo.
• Vazão constante: Volume acumulado = vazão × tempo (V = Q·t) — é a versão geométrica de "distância = velocidade × tempo", válida porque a vazão não muda com o tempo.
• Conversão de unidades: o enunciado dá 1 L = 1 dm³ = 0,001 m³ propositalmente — sinal de que toda a conta precisa ficar em metros e segundos para ser compatível com a vazão de 0,015 m³/s.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "pirâmide reta de base quadrada, cujo plano que contém essa base é paralelo a um solo plano" + a figura mostra o vértice apontando para baixo → o tanque enche "de baixo para cima", alargando a seção à medida que o nível sobe (formato de funil piramidal invertido).
• Evidência 2: "capacidade de 240 litros e altura de 2 metros" → fornece o par (volume total, altura total) necessário para calcular a área da base pela fórmula do volume da pirâmide.
• Evidência 3: "vazão constante de 0,015 m³/s", junto com "1 L = 0,001 m³" → indica que o volume despejado é V(t) = 0,015t (em m³) e que os 240 L precisam virar 0,24 m³ antes de qualquer conta.
• Síntese: o problema exige combinar duas relações de volume — uma em função de h (geometria, via semelhança) e outra em função de t (vazão constante) — e igualá-las para isolar h(t).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Converter unidades e achar a área da base

V_total = 240 L = 0,24 m³ (usando 1 L = 0,001 m³)

Altura total: H = 2 m

V = (1/3)·A_base·H → 0,24 = (1/3)·A_base·2 → A_base = (0,24 × 3) ÷ 2 = 0,36 m²

Como a base é quadrada: lado² = 0,36 → lado L₀ = 0,6 m

Subpasso 4.2 — Modelar o volume do líquido em função de h, usando semelhança

Quando o nível do líquido atinge a altura h (medida a partir do vértice, no fundo do tanque), o líquido forma uma pirâmide menor, semelhante à pirâmide total, com razão de semelhança r = h/H = h/2.

• Lado da "mini-base" do líquido: ℓ(h) = L₀·r = 0,6·(h/2) = 0,3h
• Área dessa mini-base: A(h) = ℓ(h)² = (0,3h)² = 0,09h²
• Volume do líquido: V(h) = (1/3)·A(h)·h = (1/3)·0,09h²·h = 0,03h³

Conferindo pelo atalho direto da razão de volumes (V(h) = V_total·r³): V(h) = 0,24·(h/2)³ = 0,24·h³/8 = 0,03h³ — mesmo resultado, o que confirma a conta.

Subpasso 4.3 — Igualar ao volume despejado pela vazão e isolar h

Como a vazão é constante: V(t) = Q·t = 0,015t

Igualando as duas expressões de volume:

0,03h³ = 0,015t

h³ = 0,015t ÷ 0,03 = t/2

h = ∛(t/2)

Verificação: teste com um valor "redondo" de t. Em t = 16 s, h = ∛(16/2) = ∛8 = 2 m — exatamente a altura total do tanque, ou seja, o tanque enche por completo nesse instante. Confirmando pelo volume: em 16 s, o volume despejado é 0,015 × 16 = 0,24 m³ = 240 L, precisamente a capacidade do tanque. A conta fecha perfeitamente, validando h(t) = ∛(t/2).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) ∛(t/2)

✅ Correta: é exatamente a expressão obtida ao isolar h na equação 0,03h³ = 0,015t, fruto da aplicação correta da razão de semelhança ao cubo (V ∝ h³) combinada com V = Q·t.

B) ∛t / 2

❌ Incorreta: erro algébrico clássico ao isolar h de h³ = t/2. O estudante aplica a raiz cúbica só ao numerador t e "empurra" o denominador 2 para fora da raiz sem cubificá-lo — como se ∛(t/2) fosse igual a (∛t)/2. Essa propriedade não existe: o correto seria ∛(t/2) = ∛t ÷ ∛2, não ∛t ÷ 2.

C) (1/10)·∛(t/2)

❌ Incorreta: mantém a estrutura correta dentro da raiz, mas carrega um fator espúrio 1/10 multiplicando por fora. Esse tipo de erro costuma surgir ao reaplicar a conversão de unidades (1 L = 0,001 m³) uma segunda vez dentro da equação: como ∛0,001 = 1/10, esse fator "escapa" da raiz e contamina a resposta com uma ordem de grandeza a menos do que deveria.

D) (1/10)·∛(t/8)

❌ Incorreta: acumula dois erros. Primeiro, usa o cubo da altura total (2³ = 8) diretamente no denominador de dentro da raiz, sem simplificar corretamente a razão vazão/coeficiente (que dá 1/2, não 1/8) — como se toda a razão de semelhança H³ permanecesse intacta na equação final. Segundo, repete o mesmo deslize de conversão de unidades da alternativa C, com o fator 1/10 sobrando fora da raiz.

E) (3/10)·∛(t/2)

❌ Incorreta: troca a constante correta pelo valor 3/10 (= 0,3), que é justamente o coeficiente da relação intermediária ℓ(h) = 0,3h (lado da mini-base do líquido em função de h). O estudante confunde essa constante auxiliar — usada para achar a área da seção transversal — com a constante final que deveria multiplicar h(t), "colando" um resultado de uma etapa anterior no lugar errado da resposta.

🏆 Gabarito: A — h(t) = ∛(t/2) é a única expressão que resulta corretamente da igualdade entre o volume do líquido, obtido pela razão de semelhança ao cubo (V(h) = 0,03h³), e o volume despejado pela vazão constante (V(t) = 0,015t).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A preserva a estrutura correta h = ∛(constante × t), sem fatores numéricos indevidos nem violações de propriedades de radiciação.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar Geometria Espacial (volume de sólidos, semelhança) com Funções e grandezas proporcionais (vazão, velocidade, taxa constante) — é um clássico de "modelagem com recipientes que enchem ou esvaziam".
• Generalização: sempre que um recipiente de seção variável (cone, pirâmide) é preenchido a vazão constante, a altura do líquido NÃO cresce linearmente com o tempo — cresce com ∛t (quando o recipiente afunila para baixo). Só recipientes de seção constante (cilindro, prisma) dão altura linear em relação ao tempo.
• Dica de eliminação rápida: teste de cabeça um valor de t "redondo" pluggando na fórmula — aqui, t = 16 s deveria encher o tanque todo, ou seja, dar h = 2 m. Isso elimina imediatamente qualquer alternativa com fator 1/10 ou 3/10 na frente da raiz, pois todas dariam alturas muito menores que 2 m nesse mesmo instante.
• Conexões: razão de semelhança em sólidos (área ∝ razão², volume ∝ razão³); problemas de torneira enchendo piscina ou reservatório; taxas relacionadas envolvendo geometria e tempo.