Questão 136 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Aritméticas (sequências numéricas)
• ⚡ Nível: Fácil — basta identificar duas posições conhecidas de uma PA e recuar até o primeiro termo, sem cálculos longos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecer um padrão em progressão aritmética e usar a fórmula do termo geral para encontrar um termo desconhecido (competência de área 5, habilidade H21 — resolver situações-problema que envolvam medidas de grandezas e sequências numéricas).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra o número que a prefeitura vai atribuir ao lote da família Costa, sabendo que os números dos lotes de cada lado da rua seguem uma progressão aritmética."
• Palavras-chave decisivas: progressões aritméticas, cada lado da rua, numeração já existente
• Armadilha típica: misturar os dois lados da rua em uma única sequência (tratar os números pares e ímpares como se fossem a mesma PA) ou errar a contagem de quantas "casas" (posições) existem entre o lote da família Costa e os lotes já numerados.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma figura em uma sequência ordenada, identificar corretamente a posição de cada elemento nessa sequência e aplicar a fórmula do termo geral da PA para "andar para trás" até o primeiro termo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Aritmética (PA): sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se ao anterior um valor constante chamado razão (r). Em uma rua bem planejada, os números dos lotes de um mesmo lado costumam crescer (ou decrescer) em PA, pois os terrenos têm testadas semelhantes.
• Termo geral da PA: a_n = a_1 + (n − 1)·r, onde a_1 é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão. Essa fórmula permite "pular" de um termo para outro sem precisar somar r várias vezes manualmente.
• Razão a partir de dois termos não consecutivos: se conhecemos a_p e a_q (p < q), então a_q − a_p = (q − p)·r, logo r = (a_q − a_p)/(q − p). É essencial contar corretamente quantos "saltos" existem entre as duas posições.
• Leitura de figura como sequência ordenada: cada lado da rua é uma fileira de lotes em ordem espacial; a posição de cada nome/número na fileira corresponde ao índice n da PA daquele lado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

A figura mostra dois lados da Rua X, separados pela rua tracejada:

• Lado de cima (onde está a família Costa): Costa | Pereira | 139 | Dias | 183
• Lado de baixo: 84 | 106 | Teixeira | Guimarães | 172
• Evidência 1: "Costa | Pereira | 139 | Dias | 183" → são 5 lotes em sequência espacial no mesmo lado da rua; portanto formam uma única PA de 5 termos, com Costa na posição 1, Pereira na posição 2, o lote numerado 139 na posição 3, Dias na posição 4 e o lote numerado 183 na posição 5.
• Evidência 2: "as sequências das numerações formam progressões aritméticas" → confirma que basta usar a_n = a_1 + (n−1)r para os números já conhecidos (139 e 183) e depois recuar até a_1, que é justamente o número do lote da família Costa.
• Síntese: temos a_3 = 139 e a_5 = 183 na mesma PA. A distância entre as posições 3 e 5 é de 2 passos, o que permite calcular r; em seguida, usa-se essa razão para retroceder 2 passos a partir de a_3 até chegar a a_1 (Costa).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar as posições e montar a equação da razão

Numerando os lotes do lado de cima da esquerda para a direita: a_1 = Costa, a_2 = Pereira, a_3 = 139, a_4 = Dias, a_5 = 183.

Como a_3 e a_5 pertencem à mesma PA e estão separados por 2 posições (de n = 3 até n = 5), vale:

a_5 − a_3 = (5 − 3)·r

183 − 139 = 2·r

44 = 2·r

Subpasso 4.2 — Calcular a razão e retroceder até o primeiro termo

r = 44 ÷ 2 = 22

Agora, para achar a_1 (Costa), basta recuar 2 posições a partir de a_3 = 139, subtraindo 2 vezes a razão:

a_1 = a_3 − 2·r

a_1 = 139 − 2·(22)

a_1 = 139 − 44

a_1 = 95

Subpasso 4.3 — Verificação

Reconstruindo toda a PA do lado de cima com a_1 = 95 e r = 22:

a_1 = 95 (Costa) → a_2 = 117 (Pereira) → a_3 = 139 ✓ (bate com o valor dado) → a_4 = 161 (Dias) → a_5 = 183 ✓ (bate com o valor dado).

Os dois termos numéricos fornecidos pela figura (139 e 183) conferem exatamente com a PA reconstruída, confirmando que a_1 = 95 é o número correto do lote da família Costa. Como curiosidade pedagógica, note que o lado de baixo também tem razão r = 22 (84, 106, 128, 150, 172), o que é coerente com a lógica real de numeração de ruas: lados opostos costumam ter a mesma razão entre lotes consecutivos, um com números ímpares e o outro com números pares.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 51.

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro clássico de contagem de "saltos" — o estudante calcula a diferença 183 − 139 = 44 e usa esse resultado diretamente como a razão r (esquecendo de dividir pelos 2 passos entre as posições 3 e 5). Em seguida aplica a_1 = 139 − 2·44 = 51, dobrando o erro ao usar uma razão quatro vezes maior que a real.

B) 73.

❌ Incorreta: aqui o erro está na contagem de posições entre Costa e o lote de número 139. Em vez de considerar 2 passos (posição 1 até posição 3), o estudante conta 3 passos, calculando a_1 = 139 − 3·22 = 73. É um erro de "off-by-one" muito comum ao contar elementos em uma fileira.

C) 95.

✅ Correta: com r = 22 corretamente calculado a partir de a_3 = 139 e a_5 = 183 (dois passos de distância), e recuando exatamente 2 posições a partir de a_3, chega-se a a_1 = 95, o número do lote da família Costa — valor plenamente confirmado pela verificação do Subpasso 4.3.

D) 117.

❌ Incorreta: este é o valor de a_2, ou seja, o número que seria atribuído ao lote da família Pereira, não ao da família Costa. O erro é atribuir o resultado à posição errada da fileira, confundindo o primeiro lote (Costa) com o segundo (Pereira).

E) 161.

❌ Incorreta: este é o valor de a_4, correspondente ao lote da família Dias (também ainda sem número na figura). O estudante que erra aqui provavelmente inverteu a direção do raciocínio, avançando a partir de 139 em vez de recuar, e associou o resultado ao lote errado.

🏆 Gabarito: C — a razão da PA do lado de cima da Rua X é r = 22, obtida de (183 − 139)/2, e o número do lote da família Costa é a_1 = 139 − 2·22 = 95.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a letra C garante coerência com os dois valores numéricos fornecidos na figura (139 e 183) e com a definição de PA aplicada à posição correta (a_1, referente a Costa).
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar PA em situações do cotidiano — numeração de ruas, assentos de teatro, degraus de arquibancada, prestações de um financiamento — sempre exigindo que o estudante primeiro traduza a situação real em uma sequência ordenada antes de aplicar a fórmula.
• Generalização: sempre que dois termos não consecutivos de uma PA forem dados, calcule a razão pela fórmula r = (a_q − a_p)/(q − p), contando com cuidado o número de intervalos (não de termos) entre as posições p e q; depois use a_n = a_1 + (n−1)r para alcançar qualquer termo desejado.
• Dica de eliminação rápida: desenhe a fileira e numere as posições de 1 a 5 antes de qualquer conta — isso elimina de cara erros de "para qual família vai o resultado" (como as alternativas D e E) e evita confundir a razão real com a diferença bruta entre os termos dados (como na alternativa A).
• Conexões: progressões geométricas (PG) em contextos de crescimento populacional ou juros compostos; interpretação de figuras e tabelas como estruturas matemáticas (leitura de gráficos, escalas e sequências espaciais).