Questão 167 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão Geométrica (crescimento percentual constante)
• ⚡ Nível: Fácil — basta identificar que "aumentar 50% em relação ao ano anterior" gera uma multiplicação repetida (PG), não uma soma repetida (PA)
• 🎯 Tema/Habilidade: Progressão Geométrica aplicada à modelagem de crescimento (traduzir uma descrição verbal de variação percentual em expressão algébrica)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a fórmula de An, a área total reflorestada após n anos, sabendo que ela começa em 500 ha e cresce 50% ao ano."
• Palavras-chave decisivas: 500 hectares no primeiro ano, aumentada em 50%, em relação ao ano anterior
• Armadilha típica: interpretar "aumento de 50%" como soma de uma parcela fixa (250 ha, metade de 500) todo ano — isso geraria uma Progressão Aritmética, que é exatamente o erro embutido nas alternativas C e E.
• O que a resposta precisa demonstrar: que crescimento percentual constante é sempre multiplicativo, e que a fórmula resultante deve reproduzir corretamente A₁ = 500 quando n = 1.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Geométrica (PG): sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante q, chamada razão.
• Termo geral da PG: Aₙ = A₁ · q^(n−1), em que A₁ é o primeiro termo e n é a posição do termo na sequência.
• Tradução de "aumento percentual" em razão: se uma grandeza cresce i% a cada período em relação ao valor anterior, o novo valor é o antigo multiplicado por (1 + i), com i em forma decimal. Logo, a razão da PG é q = 1 + i.
• Diferença crucial PA × PG: na PA soma-se sempre a mesma quantidade absoluta (aqui seria "+250 ha por ano"); na PG multiplica-se sempre pelo mesmo fator (aqui, "×1,5"). O enunciado descreve um fator percentual — logo, PG.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "no primeiro ano serão reflorestados 500 hectares" → define o primeiro termo da sequência: A₁ = 500.
• Evidência 2: "a cada ano, a área total reflorestada será aumentada em 50% em relação ao ano anterior" → cada termo resulta do anterior multiplicado por 1,5 (100% do valor antigo + 50% adicional = 150% = 1,5 vezes), caracterizando razão constante de uma PG.
• Síntese: a sequência (A₁, A₂, A₃, ...) é uma PG de primeiro termo 500 e razão 1,5. A tarefa se resume a substituir esses dois valores no termo geral Aₙ = A₁ · q^(n−1).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir o "aumento de 50%" em razão multiplicativa

Se a área do ano anterior é A e ela "aumenta 50% em relação ao ano anterior", o novo valor é:

A_novo = A + 0,5·A = A·(1 + 0,5) = A·1,5

Ou seja, passar de um ano para o próximo equivale a multiplicar por 1,5. Como esse fator se repete igualmente a cada ano, a sequência das áreas totais é uma Progressão Geométrica de razão q = 1,5.

Subpasso 4.2 — Montar o termo geral

Usando Aₙ = A₁ · q^(n−1), com A₁ = 500 e q = 1,5:

Aₙ = 500 · 1,5^(n−1)

Essa é a expressão algébrica pedida pelo enunciado.

Subpasso 4.3 — Verificação numérica

• n = 1: A₁ = 500 · 1,5⁰ = 500 · 1 = 500 ✅ (bate com o dado do enunciado)
• n = 2: A₂ = 500 · 1,5¹ = 750, que é 500 + 50% de 500 (500 + 250 = 750) ✅
• n = 3: A₃ = 500 · 1,5² = 500 · 2,25 = 1125, que é 750 + 50% de 750 (750 + 375 = 1125) ✅

A fórmula reproduz corretamente o crescimento de 50% ao ano descrito no enunciado, confirmando Aₙ = 500 · 1,5^(n−1).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Aₙ = 500 · 0,5^(n−1)

❌ Incorreta: a razão 0,5 representa uma redução pela metade a cada ano (decrescimento de 50%), o oposto de um crescimento. Se fosse essa a fórmula, a área reflorestada diminuiria com o tempo, contradizendo o enunciado.

B) Aₙ = 500 · 1,5^(n−1)

✅ Correta: razão q = 1,5 = 1 + 0,5 traduz exatamente o aumento de 50% ao ano em relação ao ano anterior, com A₁ = 500 quando n = 1, como confirmado na verificação do Passo 4.3.

C) Aₙ = 500 + n · 250

❌ Incorreta: é uma fórmula de PA (crescimento aditivo, não multiplicativo). Além do erro conceitual — soma 250 ha fixos por ano em vez de 50% do valor acumulado —, ela sequer reproduz o valor inicial correto: para n = 1 resultaria em 500 + 250 = 750, diferente dos 500 ha informados no enunciado.

D) Aₙ = 500 · (1 + 0,5^(n−1))

❌ Incorreta: mistura indevidamente uma parcela fixa (500) com uma potência de razão 0,5 dentro de uma soma, sem correspondência com nenhum modelo de crescimento percentual. Basta testar n = 1: Aₙ = 500 · (1 + 1) = 1000, que já diverge do valor real de 500 ha no primeiro ano.

E) Aₙ = 500 + (n − 1) · 250

❌ Incorreta: é também uma PA, de razão 250. Embora acerte por coincidência o valor em n = 1 (500) e em n = 2 (750), o crescimento é aditivo (sempre +250 ha), não percentual. Em n = 3 essa fórmula fornece 500 + 2·250 = 1000, bem abaixo dos 1125 ha corretos, revelando que ela não acompanha o efeito composto do aumento de 50% sobre o total já acumulado.

🏆 Gabarito: B — Aₙ = 500 · 1,5^(n−1) é a única expressão que parte de 500 ha no primeiro ano e cresce 50% sobre o valor acumulado a cada ano seguinte, caracterizando corretamente uma Progressão Geométrica de razão 1,5.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa B usa razão q = 1,5 (que corresponde a um crescimento de 50%) elevada a (n−1) e parte corretamente de A₁ = 500, reproduzindo com exatidão o comportamento descrito no enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente disfarça progressões geométricas em contextos de "crescimento percentual" — juros compostos, crescimento populacional, valorização de investimentos, depreciação de bens e, como aqui, projetos ambientais. A palavra-chave é sempre "em relação ao [período] anterior" associada a uma porcentagem.
• Generalização: toda vez que uma grandeza varia por uma taxa percentual fixa i a cada período, ela forma uma PG de razão q = 1 + i (crescimento) ou q = 1 − i (decrescimento), com termo geral Aₙ = A₁ · q^(n−1).
• Dica de eliminação rápida: primeiro, teste n = 1 em cada fórmula — quem não retornar 500 (o valor inicial dado) já pode ser eliminado (corta D e, dependendo da leitura, C). Depois, distinga PA de PG: se o enunciado fala em "porcentagem"/"percentual", a resposta é multiplicativa (potência), nunca aditiva (multiplicação por n) — isso elimina C e E de imediato, restando A e B para decidir apenas o sinal do crescimento.
• Conexões: juros compostos (mesma estrutura M = C·(1+i)ⁿ), depreciação exponencial de ativos, funções exponenciais em contextos ambientais e populacionais.