Questão 163 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (custo fixo + custo variável) e comparação/otimização de valores numéricos
• ⚡ Nível: Fácil — exige apenas substituir x = 12 000 em cinco expressões e comparar os resultados, sem manipulações algébricas complexas
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situações-problema por função afim (C = a + bx) para escolher a proposta de menor custo — competência de resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e comparação de funções lineares
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Para uma demanda fixa de 12 000 cópias mensais, qual das cinco empresas cobra o menor valor total?"
• Palavras-chave decisivas: valor fixo, valor proporcional ao número de cópias, menor custo mensal
• Armadilha típica: confundir "menor valor fixo" ou "menor valor por cópia" (coeficientes isolados) com "menor custo total" — a empresa com a mensalidade mais baixa (empresa I, com 500 reais fixos) não é necessariamente a mais barata no total, porque seu custo por cópia é alto; da mesma forma, a empresa com o menor custo por cópia (empresa III, a 0,20 por cópia) tem uma taxa fixa tão alta que também não vence.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir cada proposta comercial em uma função afim C(x) = C_fixo + C_variável·x, calcular o valor numérico de cada uma para x = 12 000 e comparar os cinco resultados para identificar o mínimo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (ou de 1º grau): é toda função da forma f(x) = ax + b, com a e b constantes reais. Aqui, b é o custo fixo mensal (independe da quantidade de cópias) e a é o custo variável por cópia (o coeficiente que multiplica x).
• Custo fixo × custo variável: em problemas de modelagem financeira, o custo fixo é pago mesmo que a demanda seja zero, enquanto o custo variável cresce proporcionalmente ao uso — por isso o "preço por cópia" (o coeficiente angular) pesa cada vez mais quanto maior for x.
• Comparação de funções para um x específico: quando o problema fixa um valor de x (aqui, 12 000 cópias), a comparação entre propostas deixa de ser algébrica (não é preciso resolver sistema de inequações) e vira um simples cálculo numérico: substitui-se x em cada expressão e ordenam-se os resultados.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "atenda à demanda de 12000 cópias mensais" → define exatamente o valor de x que deve ser usado em todas as cinco expressões: x = 12 000, não é preciso analisar a função em geral, apenas neste ponto.
• Evidência 2: "valor fixo pelo aluguel mensal da máquina, mais um valor proporcional ao número de cópias realizadas" → confirma que cada C(x) é uma função afim, com o termo constante representando o aluguel e o termo em x representando o custo por cópia.
• Evidência 3: "escolheu a empresa que apresentou a proposta que fornecia o serviço necessário pelo menor custo mensal" → o critério de decisão é único e claro: calcular C(12 000) para as cinco empresas e escolher o menor valor.
• Síntese: o problema não pede uma análise geral de qual empresa é mais barata "em qualquer situação", mas sim uma comparação pontual para uma demanda específica (12 000 cópias). Isso reduz a questão a uma tabela de cinco cálculos aritméticos simples, seguidos de uma comparação direta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar as cinco expressões e o valor de x

As expressões de custo total, em função do número de cópias x, são:

• Empresa I: C = 500 + 0,40x
• Empresa II: C = 800 + 0,50x
• Empresa III: C = 2000 + 0,20x
• Empresa IV: C = 1100 + 0,25x
• Empresa V: C = 600 + 0,30x

A demanda mensal é x = 12 000 cópias. Basta substituir esse valor em cada expressão.

Subpasso 4.2 — Calcular o custo total de cada empresa para x = 12 000

• Empresa I: C = 500 + 0,40 × 12 000 = 500 + 4 800 = R$ 5 300,00
• Empresa II: C = 800 + 0,50 × 12 000 = 800 + 6 000 = R$ 6 800,00
• Empresa III: C = 2000 + 0,20 × 12 000 = 2 000 + 2 400 = R$ 4 400,00
• Empresa IV: C = 1100 + 0,25 × 12 000 = 1 100 + 3 000 = R$ 4 100,00
• Empresa V: C = 600 + 0,30 × 12 000 = 600 + 3 600 = R$ 4 200,00

Subpasso 4.3 — Verificação: ordenar os custos do menor para o maior

Colocando os cinco valores em ordem crescente:

IV (R$ 4 100,00) < V (R$ 4 200,00) < III (R$ 4 400,00) < I (R$ 5 300,00) < II (R$ 6 800,00)

O menor valor entre os cinco é R$ 4 100,00, correspondente à empresa IV. Repare que a intuição de que "menor taxa fixa" ou "menor preço por cópia" garantiria vencer é falsa: a empresa I tem a menor mensalidade (R$ 500,00), mas seu preço por cópia (R$ 0,40) é o mais alto entre as concorrentes viáveis, tornando-a cara para 12 000 cópias; já a empresa III tem o menor preço por cópia (R$ 0,20), mas sua mensalidade de R$ 2 000,00 é tão alta que também perde para a empresa IV. O equilíbrio entre custo fixo moderado (R$ 1 100,00) e custo variável competitivo (R$ 0,25) é o que faz a empresa IV vencer especificamente neste patamar de demanda.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I

❌ Incorreta: a empresa I tem o custo total de R$ 5 300,00 para 12 000 cópias. Ela seduz por ter a menor taxa fixa (R$ 500,00), mas seu custo por cópia (R$ 0,40) é o segundo mais alto entre as cinco propostas, o que a torna R$ 1 200,00 mais cara do que a empresa IV nesta demanda.

B) II

❌ Incorreta: a empresa II é a proposta mais cara de todas, com custo total de R$ 6 800,00. Ela reúne a pior combinação possível: taxa fixa intermediária (R$ 800,00) somada ao maior custo por cópia (R$ 0,50) entre as cinco empresas.

C) III

❌ Incorreta: a empresa III soma R$ 4 400,00. Apesar de ter o menor custo por cópia (R$ 0,20), sua taxa fixa de R$ 2 000,00 — a mais alta de todas — penaliza o resultado final e a deixa R$ 300,00 mais cara do que a empresa IV.

D) IV

✅ Correta: a empresa IV apresenta o menor custo total, R$ 4 100,00, resultado do equilíbrio entre uma taxa fixa moderada (R$ 1 100,00) e um custo por cópia competitivo (R$ 0,25). Nenhuma outra proposta consegue igualar essa combinação para uma demanda de 12 000 cópias.

E) V

❌ Incorreta: a empresa V totaliza R$ 4 200,00, ficando apenas R$ 100,00 acima da empresa IV. É a alternativa mais próxima da correta, o que a torna a principal "pegadinha" para quem erra a conta por descuido — mas ainda assim não é o menor valor.

🏆 Gabarito: D — a empresa IV oferece o menor custo mensal (R$ 4 100,00) para atender à demanda de 12 000 cópias, superando todas as demais propostas quando se substitui x = 12 000 em cada função de custo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre as cinco funções de custo, apenas C(x) = 1100 + 0,25x (empresa IV) produz o menor valor numérico em x = 12 000, o que torna a letra D a única resposta compatível com os dados do problema.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente problemas de "escolha da melhor proposta" em contextos de telefonia, locação de veículos, planos de internet, aluguel de equipamentos e táxi/aplicativo — sempre modelados por funções afins C(x) = custo fixo + custo variável × x, comparadas em um ponto específico ou por meio de inequações.
• Generalização: quando o enunciado fixa um valor de x, resolva por substituição direta e comparação numérica (não é necessário resolver sistemas de inequações); quando o enunciado pede "a partir de que quantidade uma opção é mais vantajosa", aí sim se resolve uma inequação entre as funções.
• Dica de eliminação rápida: desconfie sempre da alternativa com a menor taxa fixa isolada (aqui, empresa I) e da alternativa com o menor custo variável isolado (aqui, empresa III) — ambas costumam ser "armadilhas de leitura rápida", pois o candidato desatento pode escolher um coeficiente sem calcular o total. Faça sempre a conta completa para o x pedido antes de decidir.
• Conexões: função afim e seus coeficientes (Fábrica de aplicações: contas de telefone, táxi, estacionamento); sistemas de inequações lineares para determinar faixas de vantagem entre duas ou mais propostas.