Questão 158 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → funções definidas por partes aplicadas a contas de consumo (tarifas escalonadas)
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar duas equações diferentes (uma para cada faixa de consumo), decidir qual é a válida e ainda trocar o valor da Cosip no meio do caminho
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situações reais com funções por partes; resolução de inequações lineares (competência de área 5 do ENEM — Matemática Financeira e Grandezas)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Partindo de 180 kWh já consumidos, qual é o maior número de kWh adicionais que a pessoa pode gastar sem que a conta total (energia + Cosip) ultrapasse R$ 220,00?"
• Palavras-chave decisivas: 180 kWh já consumidos, não ultrapasse R$ 220,00, limite... a partir daquele momento
• Armadilha típica: aplicar uma única tarifa a todo o consumo adicional (por exemplo, tudo a R$ 1,00 ou tudo a R$ 1,20) e esquecer que os 180 kWh já gastos estão "no meio" de uma faixa, e que a Cosip muda de R$ 10 para R$ 12 se o total ultrapassar 200 kWh.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de reconhecer que o consumo adicional x atravessa a fronteira dos 200 kWh, exigindo separar x em duas partes com tarifas diferentes e escolher a Cosip correspondente ao total final.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função definida por partes: o custo da energia não segue uma única "regra" para qualquer consumo — ele muda de coeficiente (tarifa) toda vez que o consumo cruza um limiar (100 kWh e 200 kWh), exatamente como uma tabela de Imposto de Renda progressivo.
• Custo marginal por faixa: cada kWh é cobrado pelo preço da faixa em que ele "cai": os primeiros 100 kWh sempre a R$ 0,90; os 100 seguintes (de 101 a 200) a R$ 1,00; e o que passar de 200 kWh, a R$ 1,20.
• Taxa fixa escalonada (Cosip): diferente da tarifa, que é proporcional ao consumo, a Cosip é um valor fixo — mas esse valor "pula" de R$ 10,00 para R$ 12,00 conforme uma condição categórica (total ≤ 200 kWh ou total > 200 kWh), não conforme uma proporção.
• Inequação linear com teto de gasto: para achar o "limite" pedido, resolve-se custo(x) ≤ 220, isolando a incógnita x dentro do cenário (faixa) correto.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "já consumiu 180 kWh no mês atual" → revela que a pessoa está dentro da segunda faixa (101–200 kWh); o custo de energia acumulado até aqui é 100 × R$0,90 + 80 × R$1,00 = R$ 90,00 + R$ 80,00 = R$ 170,00.
• Evidência 2: "Cosip... R$ 10,00 para consumo de até 200 kWh ou R$ 12,00 para consumo superior a 200 kWh" → mostra que o valor da taxa fixa depende do consumo TOTAL final do mês, e não do consumo parcial já feito — por isso é preciso testar cenários.
• Evidência 3: "limite de consumo... a partir daquele momento até o final do ciclo" → deixa claro que a incógnita pedida é o consumo adicional x (a partir de agora), e não o consumo total acumulado no mês — um detalhe que separa quem acerta de quem erra por confundir as duas grandezas.
• Síntese: somar apenas mais 20 kWh (chegando a exatos 200 kWh) resultaria em conta de R$ 200,00 — ainda R$ 20,00 abaixo do teto de R$ 220,00. Isso prova que a pessoa tem margem para consumir além de 200 kWh, entrando na faixa mais cara (R$ 1,20/kWh) e pagando a Cosip maior (R$ 12,00). É esse cenário que precisa ser resolvido com precisão.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Custo já acumulado com 180 kWh

Energia gasta até agora: 100 kWh × R$ 0,90 + 80 kWh × R$ 1,00 = R$ 90,00 + R$ 80,00 = R$ 170,00 (Cosip ainda não entra aqui, pois ela depende do total final do mês).

Subpasso 4.2 — Testando o cenário "ficar até 200 kWh totais" (x ≤ 20)

Se o consumo adicional x mantiver o total (180 + x) em até 200 kWh, cada kWh extra ainda custa R$ 1,00, e a Cosip continua R$ 10,00:

Custo(x) = 170 + 1,00·x + 10 = 180 + x.

Igualando ao teto: 180 + x = 220 → x = 40. Só que esse valor viola a própria condição do cenário (x ≤ 20), então não é válido aqui. Na verdade, o máximo real desse cenário é x = 20 (total = 200 kWh), que gera conta de R$ 200,00 — sobrando R$ 20,00 de margem não utilizada. Isso confirma que a resposta está no próximo cenário.

Subpasso 4.3 — Testando o cenário "ultrapassar 200 kWh totais" (x > 20)

Dos x kWh adicionais, os primeiros 20 (que levam o total de 180 para 200) ainda custam R$ 1,00/kWh; o que exceder 200 kWh, ou seja, (x − 20) kWh, custa R$ 1,20/kWh. A Cosip agora é R$ 12,00:

Custo(x) = 170 + 20 × 1,00 + 1,20 × (x − 20) + 12 = 202 + 1,20(x − 20).

Impondo o teto de R$ 220,00:

202 + 1,20(x − 20) ≤ 220

1,20(x − 20) ≤ 18

x − 20 ≤ 15

x ≤ 35.

Subpasso 4.4 — Verificação

Com x = 35: total consumido = 180 + 35 = 215 kWh (> 200, coerente com o cenário testado).

Custo = 202 + 1,20 × 15 = 202 + 18 = R$ 220,00, batendo exatamente com o teto — nenhum centavo sobrando, nenhum centavo faltando.

Testando x = 36 (um kWh a mais): custo = 202 + 1,20 × 16 = 202 + 19,20 = R$ 221,20 > 220, ou seja, já ultrapassa a meta. Isso confirma que 35 é o maior valor inteiro de consumo adicional que ainda respeita o limite de R$ 220,00.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 30.

❌ Incorreta: com x = 30, custo = 202 + 1,20 × 10 = R$ 214,00 — abaixo do teto, mas isso significa que ainda sobrariam R$ 6,00 de margem não aproveitada. A questão pede o limite (o valor máximo que esgota exatamente a meta), e 30 não é esse extremo.

B) 35.

✅ Correta: é exatamente o valor de x que leva o custo total a R$ 220,00, esgotando toda a margem orçamentária sem ultrapassá-la — a definição matemática precisa de "limite" nesse contexto.

C) 40.

❌ Incorreta: esse número surge de quem resolve corretamente a equação do cenário "até 200 kWh" (180 + x = 220 → x = 40), mas esquece de checar se essa equação é válida para x = 40. Como 40 faz o total ultrapassar 200 kWh, a tarifa daquele trecho excedente deveria ser R$ 1,20 (e a Cosip R$ 12), não R$ 1,00 (e Cosip R$ 10) como a equação de 180+x pressupõe. Usando a tarifa correta, x = 40 gera custo = 202 + 1,20 × 20 = R$ 226,00, acima do teto.

D) 42.

❌ Incorreta: é o resultado de um erro comum — calcular (220 − 170) ÷ 1,20 ≈ 41,7 (arredondando para 42), ou seja, aplicar a tarifa de R$ 1,20 a TODO o consumo adicional, sem separar os 20 kWh iniciais que ainda pertencem à faixa de R$ 1,00. Com x = 42, o custo real é 202 + 1,20 × 22 = R$ 228,40, bem acima de R$ 220,00.

E) 50.

❌ Incorreta: decorre de ignorar completamente a estrutura de tarifas por faixa e a Cosip, tratando toda a margem restante (220 − 170 = 50) como se fosse consumível a R$ 1,00/kWh sem qualquer taxa fixa adicional. Com x = 50, o custo real é 202 + 1,20 × 30 = R$ 238,00 — quase R$ 18,00 acima do limite estabelecido.

🏆 Gabarito: B — Apenas x = 35 kWh adicionais, quando corretamente calculados com a tarifa escalonada (R$ 1,00 até completar 200 kWh e R$ 1,20 acima disso) e a Cosip majorada (R$ 12,00 para consumo total superior a 200 kWh), resulta em uma conta de exatamente R$ 220,00 — a meta máxima estabelecida pela pessoa.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa que, substituída corretamente na equação de custo por partes, devolve exatamente R$ 220,00 sem ultrapassar o teto — as demais alternativas ou desperdiçam margem (A) ou estouram o orçamento por aplicarem a tarifa errada a algum trecho do consumo (C, D, E).
• Padrão de cobrança: O ENEM cobra recorrentemente problemas de "conta que cresce por faixas" — água, luz, telefone, impostos progressivos — sempre exigindo que o candidato reconheça em qual faixa o valor de partida se encontra e o que muda quando esse valor cruza um limiar.
• Generalização: Diante de qualquer cobrança "em faixas", resolva por etapas: (1) identifique em qual faixa está o ponto de partida; (2) calcule quanto falta para atingir o próximo limiar e o custo correspondente; (3) verifique se ainda sobra margem — se sim, continue o raciocínio na faixa seguinte, com a nova tarifa e, se for o caso, com a nova taxa fixa.
• Dica de eliminação rápida: Teste mentalmente os extremos das alternativas mais altas contra o teto: se aplicar a tarifa mais cara (R$ 1,20) mais a Cosip maior (R$ 12,00) já ultrapassa R$ 220,00, a alternativa cai — isso elimina D e E em poucos segundos, restando apenas comparar B e C com mais cuidado.
• Conexões: Imposto de Renda progressivo; tarifas de água/esgoto por faixa de consumo; funções afins definidas por partes aplicadas à matemática financeira do dia a dia.