Questão 169 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas Lineares e Otimização (Programação Linear)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar duas restrições a partir da tabela e perceber que a solução ótima não é somar as necessidades separadamente, mas explorar a sobreposição entre elas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Minimização de custo sujeita a restrições nutricionais (resolver situações-problema por meio de sistemas e desigualdades)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Combine Z e W nas menores quantidades possíveis para atingir 100% de X e 100% de Y ao mesmo tempo, e calcule o custo mínimo dessa combinação."
• Palavras-chave decisivas: valor mínimo, 100% de reposição diária, consumindo os alimentos Z e W
• Armadilha típica: calcular a quantidade de cada alimento isoladamente — quanto de Z basta para 100% de X, quanto de W basta para 100% de Y — e somar os dois custos, sem perceber que o alimento comprado para uma vitamina já ajuda na outra.
• O que a resposta precisa demonstrar: montar uma restrição por vitamina, identificar o alimento indispensável para o nutriente "exclusivo" e minimizar o gasto combinando o excedente de um alimento com o complemento do outro.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema de inequações lineares: cada vitamina gera uma restrição do tipo "quantidade fornecida ≥ 100%". Duas vitaminas e dois alimentos formam duas variáveis e duas restrições — a estrutura clássica de um problema de programação linear.
• Regra de três / proporcionalidade: como as porcentagens são dadas "por 100 g", a massa consumida é diretamente proporcional à porcentagem fornecida (200 g de Z rende o dobro de X que 100 g).
• Nutriente exclusivo: quando um alimento contribui com 0% para uma vitamina (Z não tem nada de Y), toda essa vitamina obrigatoriamente vem do outro alimento. É o fio condutor que destrava o problema sem exigir cálculo formal de vértices de região viável.
• Minimização com custos positivos: como todo grama comprado custa dinheiro, a estratégia ótima nunca compra além do estritamente necessário — folga é desperdício. O gasto mínimo ocorre no ponto em que as duas restrições ficam simultaneamente "no limite", em 100%.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (tabela da imagem): Vitamina X → Z = 25%, W = 8% por 100 g; Vitamina Y → Z = 0%, W = 16% por 100 g → Z é "inútil" para Y: essa vitamina depende inteiramente de W.
• Evidência 2: "Z e W custam, respectivamente, R$ 3,00 e R$ 8,00 por quilo" → custo por grama: R$ 0,003 (Z) e R$ 0,008 (W) — Z é quase 3× mais barato, então convém "trocar" W por Z sempre que der.
• Evidência 3: "fazer 100% de reposição diária de cada vitamina" → restrições de mínimo (≥ 100%), mas o custo mínimo sempre ocorre exatamente em 100%, sem sobra.
• Síntese: o caminho mais econômico é usar W só para fechar Y, aproveitar o quanto isso já adianta de X, e completar apenas a diferença com Z, o alimento mais barato por grama.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Fechar 100% da vitamina Y (só W pode fazer isso)

Como Z fornece 0% de Y, toda a vitamina Y precisa vir de W. Se 100 g de W fornecem 16% de Y:

100 g ―――― 16% ⟹ m ―――― 100% ⟹ m = 100 × 100 ÷ 16 = 625 g de W.

Comprar menos que 625 g deixaria Y incompleta, e não há outra forma de completá-la. Logo, 625 g de W é exigência mínima inegociável.

Subpasso 4.2 — Ver quanto de X essa compra de W já cobre e completar com Z

Os mesmos 625 g de W também fornecem X (8% por 100 g):

X obtido = (625 ÷ 100) × 8% = 6,25 × 8% = 50% de X.

Restam 100% − 50% = 50% de X. Como Z é mais barato por grama, a estratégia ótima usa Z para completar essa diferença (25% de X por 100 g):

100 g ―――― 25% ⟹ n ―――― 50% ⟹ n = 100 × 50 ÷ 25 = 200 g de Z.

Os 200 g de Z fornecem exatamente os 50% de X que faltavam e 0% de Y (já coberto por W). Nenhuma restrição fica com folga nem descoberta — é o ponto de custo mínimo.

Subpasso 4.3 — Verificação (cálculo do custo total)

Custo de W: 625 g × R$ 0,008/g = R$ 5,00. Custo de Z: 200 g × R$ 0,003/g = R$ 0,60.

Custo total mínimo = R$ 5,00 + R$ 0,60 = R$ 5,60.

Conferindo: X = 50% (W) + 50% (Z) = 100% ✅; Y = 100% (W) + 0% (Z) = 100% ✅. Ambas exatas, sem excesso — confirma R$ 5,60 como o menor gasto possível, alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 5,00.

❌ Incorreta: é só o custo dos 625 g de W. Corresponde a quem acerta a quantidade mínima de W para fechar Y, mas esquece de checar se X também ficou 100% suprida — ela fica só 50%. Ignora a necessidade de comprar mais 200 g de Z.

B) 5,60.

✅ Correta: custo mínimo combinado — R$ 5,00 de W (fecha 100% de Y e 50% de X de brinde) mais R$ 0,60 de Z (completa os 50% de X restantes), sem desperdício em nenhuma vitamina.

C) 6,10.

❌ Incorreta: valor intermediário que não corresponde a nenhuma estratégia matematicamente consistente — não é o ponto de custo mínimo (B) nem a soma totalmente independente (D). Surge de quem arredonda a massa de W "por segurança" (compra um pouco mais que os 625 g exatos) em vez de usar a fração exata 100/16, gastando mais que o ótimo sem cometer o erro completo de D.

D) 6,20.

❌ Incorreta: resolve as duas vitaminas de forma totalmente separada — 400 g de Z para fechar sozinho 100% de X (R$ 1,20) mais 625 g de W para fechar sozinho 100% de Y (R$ 5,00), somando R$ 6,20. O erro é não perceber que os mesmos 625 g de W já dão 50% de X "de graça", tornando desnecessário comprar Z para os 100% inteiros.

E) 10,00.

❌ Incorreta: custo de usar apenas W para as duas vitaminas, ignorando Z. W sozinho só atinge 100% de X com y ≥ 12,5 (1250 g, pois 8% × 12,5 = 100%) — bem mais que os 625 g exigidos só por Y —, custando 1250 × R$ 0,008 = R$ 10,00. É o erro de quem não usa Z, mais barato, para completar X.

🏆 Gabarito: B — R$ 5,60 é o menor gasto possível porque aproveita ao máximo o fato de que os 625 g de W, indispensáveis para fechar a vitamina Y (que só W fornece), já cobrem metade da vitamina X, restando completar apenas os outros 50% com 200 g do alimento mais barato, Z.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: menos de 625 g de W deixa Y incompleta (impossível, só W a fornece); mais que 200 g de Z ou 625 g de W gera gasto sem necessidade. R$ 5,60 é o único valor compatível com as duas vitaminas exatamente em 100%, sem excedente.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de otimização com restrições (misturas, dietas, produção) em que um recurso é "exclusivo" de uma variável — identificar esse recurso primeiro trava uma das variáveis antes de qualquer conta de custo.
• Generalização: em minimização com duas restrições e dois "produtos", comece pelo nutriente que só um item fornece (isso fixa sua quantidade mínima); depois calcule o que esse item já entrega para a outra exigência e complete só a diferença com o item mais barato.
• Dica de eliminação rápida: calcule o extremo de usar um único alimento para tudo (aqui, R$ 10,00) e a soma "ingênua" e independente das duas necessidades (aqui, R$ 6,20) — o gabarito fica sempre abaixo de ambos, e valores que nem cobrem as duas vitaminas (como R$ 5,00) somem por incompletude.
• Conexões: programação linear e otimização com restrições; sistemas de equações e inequações lineares aplicados a dietas, misturas e produção com recursos limitados.