Questão 175 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem aplicada a finanças e otimização com restrição orçamentária
• ⚡ Nível: Difícil — não há fórmula direta: é preciso montar o custo e o lucro de cada tipo de apartamento e testar as combinações possíveis dentro de um teto de gastos
• 🎯 Tema/Habilidade: Porcentagens sucessivas (acréscimo sobre preço de compra e sobre valor de revenda) combinadas com otimização de investimento sob restrição orçamentária
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual combinação de apartamentos de 2 e de 3 quartos, comprada com até R$ 1.000.000,00, gera o maior lucro possível na revenda daqui a 12 meses?"
• Palavras-chave decisivas: R$ 1 000 000,00 (teto rígido), maior lucro possível (maximizar reais, não taxa percentual), independentemente de terem varanda (o 4% de valorização vale para os 3 quartos com ou sem varanda)
• Armadilha típica: achar que "maior lucro" é comprar o máximo do imóvel de maior taxa de valorização (2 quartos: 5% contra 4% do 3 quartos). Isso ignora que dinheiro sobrando sem investir não gera lucro nenhum — às vezes vale mais usar quase todo o orçamento, mesmo com um ativo de taxa menor.
• O que a resposta precisa demonstrar: traduzir cada alternativa em custo total (cabe no orçamento?) e lucro total em reais, comparando os cinco valores.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Porcentagem como acréscimo sucessivo: o preço do 3 quartos com varanda vem de 15% sobre o preço-base sem varanda; o lucro de cada apartamento vem de 5% (2 quartos) ou 4% (3 quartos) sobre o próprio preço de compra.
• Lucro absoluto × taxa de lucro: a taxa percentual mede o retorno de uma unidade isolada; o que a imobiliária maximiza é a soma, em reais, dos lucros de todos os apartamentos comprados — a questão explora essa diferença.
• Otimização com restrição e unidades indivisíveis: como não se compram frações de apartamento, o problema não tem fórmula fechada; resolve-se testando combinações inteiras viáveis (dentro do orçamento) e comparando o lucro total de cada uma.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Os de 2 quartos têm varanda e custam R$ 220 000,00." → todo 2 quartos custa R$ 220.000,00; não há opção sem varanda nessa categoria.
• Evidência 2: "apartamentos de 3 quartos não têm varanda e custam R$ 300 000,00. Se tiverem varanda, o preço será 15% maior." → 3 quartos sem varanda = R$ 300.000,00; com varanda = 300.000 × 1,15 = R$ 345.000,00.
• Evidência 3: "2 quartos [...] revendidos [...] por 5% a mais [...] 3 quartos [...] por 4% a mais [...] independentemente de terem varanda." → lucro do 2 quartos = 5% de R$ 220.000; lucro do 3 quartos (com ou sem varanda) = 4% do seu próprio preço.
• Síntese: cada tipo tem custo e lucro fixos em reais; o problema é escolher, respeitando R$ 1.000.000,00, a combinação de quantidades inteiras que maximiza a soma dos lucros.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Preço e lucro unitário de cada tipo

• 2 quartos (com varanda): preço R$ 220.000,00; lucro = 5% × 220.000 = R$ 11.000,00
• 3 quartos sem varanda: preço R$ 300.000,00; lucro = 4% × 300.000 = R$ 12.000,00
• 3 quartos com varanda: preço = 300.000 × 1,15 = R$ 345.000,00; lucro = 4% × 345.000 = R$ 13.800,00

Taxas de retorno: 11.000 ÷ 220.000 = 5%; 12.000 ÷ 300.000 = 4%; 13.800 ÷ 345.000 = 4%. Isoladamente o 2 quartos "rende" mais, mas o orçamento é limitado e as unidades indivisíveis — por isso a maior taxa não garante o maior lucro absoluto.

Subpasso 4.2 — Testar combinações dentro de R$ 1.000.000,00 (x = qtde 2q; y = qtde 3q s/varanda; z = qtde 3q c/varanda)

• x=4, y=0, z=0: custo 4×220.000 = R$ 880.000,00 (sobram R$ 120.000,00 ociosos) → lucro = 4×11.000 = R$ 44.000,00
• x=0, y=3, z=0: custo 3×300.000 = R$ 900.000,00 (sobram R$ 100.000,00) → lucro = 3×12.000 = R$ 36.000,00
• x=0, y=0, z=3: custo 3×345.000 = R$ 1.035.000,00 → ultrapassa o orçamento em R$ 35.000,00: inviável.
• x=3, y=1, z=0: custo 3×220.000+300.000 = 660.000+300.000 = R$ 960.000,00 (sobram só R$ 40.000,00) → lucro = 33.000+12.000 = R$ 45.000,00
• x=1, y=1, z=1: custo 220.000+300.000+345.000 = R$ 865.000,00 (sobram R$ 135.000,00) → lucro = 11.000+12.000+13.800 = R$ 36.800,00
• x=3, y=0, z=1 (trocar o 3q sem varanda pelo de maior lucro unitário): custo 660.000+345.000 = R$ 1.005.000,00 → estoura o orçamento em R$ 5.000,00: inviável. Essa é a armadilha do Passo 1 — o lucro seria maior (46.800), mas o dinheiro não é suficiente.

Subpasso 4.3 — Verificação

O maior lucro entre as combinações viáveis é R$ 45.000,00, com x=3, y=1, z=0: 3 apartamentos de 2 quartos e 1 de 3 quartos sem varanda, usando R$ 960.000,00 dos R$ 1.000.000,00 (96% do orçamento). As duas tentativas que usariam só ativos de maior lucro unitário (z=3 e x=3,z=1) estouram o orçamento. Isso descreve exatamente a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4 de 2 quartos.

❌ Incorreta: custo R$ 880.000,00, lucro R$ 44.000,00. Maximiza a taxa individual (5%), mas deixa R$ 120.000,00 do orçamento parados sem gerar lucro — R$ 1.000,00 a menos que a combinação ótima.

B) 3 de 3 quartos sem varanda.

❌ Incorreta: custo R$ 900.000,00, lucro R$ 36.000,00. Usa só ativos de 4% de retorno e ainda deixa R$ 100.000,00 ociosos.

C) 3 de 3 quartos com varanda.

❌ Incorreta: custo 3×R$ 345.000,00 = R$ 1.035.000,00, que ultrapassa o orçamento em R$ 35.000,00. Compra fisicamente inviável com o capital disponível — nem entra na comparação de lucros.

D) 3 de 2 quartos e 1 de 3 quartos sem varanda.

✅ Correta: custo R$ 960.000,00 (dentro do orçamento, só R$ 40.000,00 ociosos), lucro R$ 45.000,00 — o maior entre todas as combinações viáveis testadas.

E) 1 de 2 quartos, 1 de 3 quartos sem varanda e 1 de 3 quartos com varanda.

❌ Incorreta: custo R$ 865.000,00, lucro R$ 36.800,00. Diversifica os três tipos, mas usa poucas unidades e deixa R$ 135.000,00 sem investir — bem abaixo do lucro de D.

🏆 Gabarito: D — comprar 3 apartamentos de 2 quartos e 1 de 3 quartos sem varanda custa R$ 960.000,00 (dentro do orçamento) e gera lucro de R$ 45.000,00, o maior valor entre todas as combinações possíveis respeitando o limite de R$ 1.000.000,00.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre todas as combinações inteiras que respeitam o teto de R$ 1.000.000,00, só x=3, y=1, z=0 atinge R$ 45.000,00 de lucro; as demais ou ultrapassam o orçamento (C) ou deixam capital ocioso com menor retorno agregado (A, B, E).
• Padrão de cobrança: o ENEM usa cenários de "investimento com orçamento limitado" para testar se o candidato confunde taxa percentual de retorno com lucro em valor absoluto — recorrente em porcentagem aplicada a decisões financeiras, produção industrial e compras com verba fixa.
• Generalização: em otimização com restrição de orçamento e unidades indivisíveis, o alvo nunca é a maior taxa de retorno de um único ativo, e sim a soma total do lucro; calcule o custo de cada combinação candidata (ela cabe no limite?) antes de comparar os lucros absolutos.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o custo total de cada alternativa e descarte quem ultrapassar o orçamento (elimina C em segundos); entre as restantes, compare só o lucro total em reais — taxas percentuais isoladas induzem ao erro.
• Conexões: porcentagem sucessiva (acréscimos compostos) e otimização sob restrição orçamentária (tipo "problema da mochila") aparecem em investimentos financeiros, planejamento de produção e compras com verba limitada.