Questão 155 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade condicional (espaço amostral restrito)
• ⚡ Nível: Médio — exige perceber que o sorteio ocorre apenas entre quem recebeu cartão, não entre todos os 425 funcionários
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade condicional por redefinição do espaço amostral (tratamento da informação e contagem)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre os funcionários que receberam cartão (têm ao menos um filho), qual é a chance de o sorteado ter exatamente dois filhos?"
• Palavras-chave decisivas: pelo menos um filho, exatamente dois filhos, cartões distribuídos
• Armadilha típica: usar 425 (total de funcionários) como espaço amostral em vez de 357 (só os que concorrem)
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar corretamente quem participa do sorteio (universo reduzido) antes de montar a razão favorável/possível

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade clássica: P(evento) = número de casos favoráveis ÷ número de casos possíveis, válida quando os casos são equiprováveis (aqui, cada cartão tem a mesma chance de ser sorteado).
• Espaço amostral restrito (condicional): quando o enunciado impõe uma condição de participação ("recebe cartão quem tem pelo menos um filho"), o espaço amostral deixa de ser toda a população e passa a ser apenas o subconjunto que satisfaz a condição.
• Partição por complementar: o grupo "mais de dois filhos" não é dado diretamente — ele é obtido subtraindo do total (425) as categorias já informadas. É a ferramenta que fecha a contagem antes de calcular a probabilidade.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "68 não têm filhos, 153 têm um filho, 119 têm dois filhos e o restante tem mais de dois filhos" → define quatro grupos disjuntos que somam 425 ao todo; o grupo "mais de dois filhos" precisa ser calculado por subtração.
• Evidência 2: "Cartões [...] serão distribuídos a funcionários que têm, pelo menos, um filho" → só concorrem ao prêmio os funcionários com filhos (excluem-se os 68 sem filhos); esse conjunto é o novo espaço amostral do sorteio.
• Síntese: a pergunta não é "qual a chance de um funcionário qualquer, entre os 425, ter dois filhos", mas "dado que o sorteado é um dos que receberam cartão, qual a chance de ele ter exatamente dois filhos" — o denominador correto da probabilidade não é 425, e sim o total de cartões distribuídos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Completar a contagem por número de filhos

Total de funcionários: 425.

Sem filhos: 68. Um filho: 153. Dois filhos: 119.

Mais de dois filhos = 425 − 68 − 153 − 119 = 85.

Subpasso 4.2 — Definir o espaço amostral do sorteio

Só recebem cartão (e, portanto, só concorrem) os funcionários com pelo menos um filho:

357 = 153 + 119 + 85.

Esse é o total de cartões distribuídos, e cada cartão representa um resultado possível igualmente provável no sorteio.

Subpasso 4.3 — Calcular a probabilidade pedida

Casos favoráveis: funcionários com exatamente dois filhos → 119.

Casos possíveis: total de cartões distribuídos → 357.

P = 119 ÷ 357 = 119/357.

Subpasso 4.4 — Verificação

Simplificando: 119 = 7 × 17 e 357 = 3 × 7 × 17, logo 119/357 = 1/3 ≈ 0,33 — ou seja, cerca de 1 em cada 3 cartões pertence a alguém com dois filhos, valor coerente com 119 ser a maior fatia isolada dentro dos 357. A fração não simplificada, 119/357, aparece literalmente na alternativa D, confirmando que o cálculo bate com uma das opções.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 357/425

❌ Incorreta: essa fração calcula a probabilidade de um funcionário sorteado entre todos os 425 ser alguém que tem filhos (isto é, ter recebido cartão) — responde "qual a chance de ter cartão", não "qual a chance de ter dois filhos dado que tem cartão". Troca o papel de 357 e 425 na razão.

B) 238/425

❌ Incorreta: 238 = 153 + 85 é o número de funcionários com cartão que não têm exatamente dois filhos (complementar de 119 dentro dos 357). O erro está em usar esse numerador do complementar, mas dividir por 425 (total de funcionários) em vez de 357 (total de cartões) — mistura o espaço amostral certo com o errado.

C) 119/425

❌ Incorreta: o numerador (119, funcionários com dois filhos) está certo, mas o denominador usa o total de 425 funcionários em vez de restringir aos 357 que efetivamente participam do sorteio. É o erro clássico de ignorar a condição "pelo menos um filho" e tratar o problema como probabilidade simples sobre toda a empresa.

D) 119/357

✅ Correta: numerador e denominador refletem exatamente o espaço amostral restrito exigido pelo enunciado — 119 casos favoráveis (dois filhos) entre 357 casos possíveis (todos os que receberam cartão).

E) 1/119

❌ Incorreta: essa fração responde a uma pergunta diferente — "dado que o sorteado tem dois filhos, qual a chance de ser um funcionário específico entre os 119?" (probabilidade uniforme dentro do subgrupo). O enunciado pede a chance de o sorteado pertencer ao grupo de dois filhos, não a chance de ser um indivíduo específico já sabendo que pertence a ele.

🏆 Gabarito: D — P = 119/357, pois o espaço amostral do sorteio é formado apenas pelos 357 funcionários que receberam cartão (têm ao menos um filho), e dentro dele 119 têm exatamente dois filhos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D usa, ao mesmo tempo, o numerador certo (119) e o espaço amostral certo (357); todas as outras trocam um desses dois números pelo valor errado.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma esconder uma restrição de espaço amostral dentro de uma frase aparentemente burocrática (aqui, "cartões [...] serão distribuídos a funcionários que têm, pelo menos, um filho"); quem lê rápido demais usa o total geral (425) e erra.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "somente participam/concorrem/recebem X aqueles que...", redefina o espaço amostral antes de montar a fração — a probabilidade condicional é sempre casos favoráveis dividido pelo novo universo, nunca pelo total original.
• Dica de eliminação rápida: pergunte "o denominador é 425 ou 357?" — todas as alternativas com denominador 425 (A, B e C) já podem ser descartadas de cara, restando apenas D e E para decidir entre "pertencer ao grupo" (357 no denominador) e "ser um indivíduo específico do grupo" (119 no denominador).
• Conexões: probabilidade condicional; partição de conjuntos por complementar; leitura de enunciados com restrição de universo (recorrente também em estatística e combinatória).