Questão 177 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Escalas, razão e proporção, semelhança de figuras planas
• ⚡ Nível: Médio — exige montar uma proporção entre os lados do retângulo, resolver uma equação simples do 2º grau para achar as dimensões reais e só então calcular a escala.
• 🎯 Tema/Habilidade: Escala como razão entre comprimento no desenho e comprimento real; competência de resolver problemas com grandezas proporcionais, diferenciando escala linear de escala de área.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que um quarto real de 24 m² é representado, na planta, por um retângulo de 0,10 m por 0,15 m, encontre a razão de escala planta:real."
• Palavras-chave decisivas: área de 24 m², lados medindo 0,10 m e 0,15 m, escala
• Armadilha típica: confundir a razão entre as ÁREAS do desenho e do real com a escala — a escala é sempre uma razão de comprimentos, nunca de áreas diretamente.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de recuperar as dimensões reais do quarto a partir da área e da proporção entre os lados da planta, e então dividir corretamente comprimento do desenho por comprimento real.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Escala: razão constante entre uma medida no desenho (planta, mapa, maquete) e a medida real correspondente, sempre comparando a mesma grandeza (comprimento com comprimento). Escreve-se na forma 1 : n.
• Retângulos semelhantes: o retângulo real do quarto e o retângulo desenhado na planta são semelhantes; logo, a razão entre lados correspondentes é constante e é exatamente a escala.
• Escala de área vs. escala linear: se a escala linear é 1:n, a escala das áreas é 1:n². Por isso, para obter n a partir de uma razão de áreas, é preciso extrair a raiz quadrada — esquecer esse passo é o erro mais comum da questão.
• Sistema de proporcionalidade: conhecendo a razão entre dois lados (aqui, 2:3) e o produto deles (a área), monta-se uma equação do tipo (2k)·(3k) = Área para encontrar o fator k.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "área de 24 m²" → é a área REAL do quarto, grandeza usada para reconstruir as dimensões reais — não é a área do desenho.
• Evidência 2: "retângulo com lados medindo 0,10 m e 0,15 m" → são as medidas NO DESENHO; a razão entre elas (0,10 : 0,15 = 2 : 3) precisa se manter nas dimensões reais, pois os retângulos são semelhantes.
• Síntese: como os dois retângulos são semelhantes, basta encontrar dimensões reais que preservem a proporção 2:3 e cujo produto seja 24 m²; depois, comparar qualquer lado da planta com o lado real correspondente fornece a escala.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Razão entre os lados do desenho

0,10 : 0,15 = 10 : 15 = 2 : 3. Logo, as dimensões reais devem ser da forma 2k e 3k (k em metros), mantendo essa mesma razão entre os lados — condição de semelhança entre os retângulos.

Subpasso 4.2 — Determinar k pela área real

(2k) · (3k) = 24 → 6k² = 24 → k² = 4 → k = 2 m.

Dimensões reais: 2k = 4 m e 3k = 6 m.

Verificação: 4 × 6 = 24 m² ✓. E a razão 4 : 6 = 2 : 3, idêntica à do desenho ✓.

Subpasso 4.3 — Cálculo da escala (comprimento : comprimento)

Associando cada lado do desenho ao lado real correspondente (o menor com o menor, o maior com o maior):

0,10 m (desenho) ↔ 4 m (real): escala = 0,10 ÷ 4 = 0,025 = 1/40.

0,15 m (desenho) ↔ 6 m (real): escala = 0,15 ÷ 6 = 0,025 = 1/40.

Os dois lados confirmam a mesma razão: escala = 1 : 40.

Subpasso 4.4 — Verificação por área (checagem cruzada)

Área do desenho: 0,10 × 0,15 = 0,015 m². Razão entre as áreas: 0,015 ÷ 24 = 1/1600.

Como a escala de área é o quadrado da escala linear, √(1/1600) = 1/40 — confirma exatamente o resultado do Subpasso 4.3.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1 : 24.

❌ Incorreta: usa diretamente o número 24 (a área do quarto, em m²) como se fosse o denominador da escala, sem realizar nenhum cálculo dimensional. Confunde a grandeza "área" com a grandeza "razão de comprimento" e ignora completamente as medidas do retângulo da planta.

B) 1 : 40.

✅ Correta: é exatamente a razão entre qualquer lado do desenho e o lado real correspondente (0,10/4 = 0,15/6 = 1/40), resultado confirmado de duas formas independentes — pela divisão direta dos lados e pela raiz quadrada da razão entre as áreas.

C) 1 : 60.

❌ Incorreta: surge de comparar lados que NÃO se correspondem — por exemplo, dividir o menor lado do desenho (0,10 m) pelo maior lado real (6 m) em vez do lado real que de fato lhe corresponde (4 m): 0,10 ÷ 6 = 1/60. O erro conceitual é emparelhar incorretamente os lados dos retângulos semelhantes.

D) 1 : 1600.

❌ Incorreta: é exatamente a razão entre as ÁREAS (0,015 m² do desenho para 24 m² reais = 1/1600), tomada diretamente como se fosse a escala linear, sem extrair a raiz quadrada. É o erro clássico da questão: confundir escala de área (1:n²) com escala de comprimento (1:n).

E) 1 : 16000.

❌ Incorreta: repete o erro de usar a razão de áreas sem extrair raiz quadrada e ainda soma um deslize de casa decimal ao calcular a área do desenho (0,10 × 0,15 tratado como 0,0015 m² em vez de 0,015 m²), o que multiplica o erro anterior por 10, levando a 1:16000 em vez de 1:1600.

🏆 Gabarito: B — 1:40 é a única razão que compara corretamente um comprimento do desenho com o comprimento real que ele de fato representa, validada por dois lados diferentes do retângulo e confirmada por checagem cruzada via razão de áreas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa que nasce de uma razão comprimento:comprimento coerente com a semelhança entre os retângulos da planta e do quarto real; todas as demais vêm de trocar grandezas (área por comprimento) ou de emparelhar lados de forma errada.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra escala quase todo ano, em contextos de mapas, plantas baixas e maquetes, quase sempre exigindo transformar uma informação de área (ou volume) em escala linear, ou vice-versa.
• Generalização: escala é sempre uma razão de comprimentos. Se o problema fornece áreas, extraia a raiz quadrada da razão entre as áreas (ou reconstrua primeiro os comprimentos reais antes de dividir pelos comprimentos do desenho).
• Dica de eliminação rápida: calcule a razão entre as áreas primeiro — é uma conta simples. Se esse número aparecer pronto entre as alternativas (aqui, 1:1600), desconfie: é a "escala de área", uma armadilha; a resposta certa é a raiz quadrada desse valor.
• Conexões: escalas cartográficas e mapas; semelhança de figuras planas; grandezas proporcionais (área ∝ comprimento²).