Questão 153 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (Teorema de Pitágoras e área de quadrilátero com diagonais perpendiculares)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar duas aplicações do Teorema de Pitágoras com a fórmula da área do losango/pipa, mas cada etapa isolada é simples
• 🎯 Tema/Habilidade: Relações métricas em triângulos retângulos aplicadas ao cálculo de área de um quadrilátero com diagonais perpendiculares (competência de resolver situação-problema envolvendo grandezas geométricas)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a área total do quadrilátero ABCD (a pipa), sabendo que E é o ponto de encontro das diagonais AC e BD, e que essas diagonais são perpendiculares entre si."
• Palavras-chave decisivas: E pertence ao segmento AC, ponto médio do segmento BD, quadrilátero ABCD
• Armadilha típica: tentar montar triângulos ou trapézios "soltos" sem perceber que a figura mostra um ângulo reto em E — quem não lê a imagem com atenção pode não perceber que AC e BD são perpendiculares, e sem essa perpendicularidade a fórmula d₁·d₂/2 não vale.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair as duas diagonais completas (BD e AC) a partir de dados parciais dos lados, usando Pitágoras em triângulos retângulos formados pelo ponto E, e depois aplicar corretamente a fórmula de área para quadriláteros com diagonais perpendiculares.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Teorema de Pitágoras: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (a² = b² + c²). Aqui será usado duas vezes, pois E forma dois triângulos retângulos diferentes com os vértices da pipa.
• Diagonais perpendiculares e ponto médio: quando as diagonais de um quadrilátero se cruzam formando 90° e uma delas é bissectada pelo ponto de interseção (como BD é bissectado por E), o quadrilátero tem simetria de "pipa" (kite), e sua área pode ser calculada pela fórmula clássica de losangos/pipas.
• Área de quadrilátero com diagonais perpendiculares: Área = (d₁ × d₂) / 2, onde d₁ e d₂ são as medidas completas das duas diagonais. Essa fórmula vem de decompor a figura em 4 triângulos retângulos cujas áreas, somadas, equivalem à metade do retângulo circunscrito de lados d₁ e d₂.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os segmentos AB, BC e CE medem, respectivamente, 20 cm, 34 cm e 30 cm" → fornece dois lados do quadrilátero (AB e BC) e metade de uma das diagonais (CE, que é metade de AC, já que E está sobre AC entre A e C).
• Evidência 2: "E pertence ao segmento AC e é ponto médio do segmento BD" → revela que E é o ponto de interseção das diagonais, e que BD é dividido em duas partes iguais (BE = ED); a figura confirma ainda o ângulo reto em E, ou seja, AC ⊥ BD.
• Síntese: com E sendo o cruzamento perpendicular das diagonais, os triângulos ABE e CBE (formados pelos lados dados AB e BC junto com a diagonal AC) são retângulos em E. Isso permite calcular BE (metade de BD) usando o triângulo BCE, e depois AE (metade de AC que falta) usando o triângulo ABE — restando somar tudo para achar as duas diagonais completas e aplicar a fórmula da área.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular BE usando o triângulo BCE

O triângulo BCE é retângulo em E (ângulo reto confirmado pela figura, já que AC ⊥ BD). Seus catetos são BE e CE, e sua hipotenusa é BC.

Pelo Teorema de Pitágoras:

BC² = BE² + CE²

34² = BE² + 30²

1156 = BE² + 900

BE² = 1156 − 900 = 256

BE = √256 = 16 cm

Como E é ponto médio de BD, então BD = 2 × BE = 2 × 16 = 32 cm.

Subpasso 4.2 — Calcular AE usando o triângulo ABE e obter AC

O triângulo ABE também é retângulo em E, com catetos AE e BE, e hipotenusa AB (que já usamos BE = 16 cm no subpasso anterior).

Pelo Teorema de Pitágoras:

AB² = AE² + BE²

20² = AE² + 16²

400 = AE² + 256

AE² = 400 − 256 = 144

AE = √144 = 12 cm

Como E está sobre o segmento AC, entre A e C, temos:

AC = AE + EC = 12 + 30 = 42 cm

Agora temos as duas diagonais completas: AC = 42 cm e BD = 32 cm, perpendiculares entre si (confirmado pela figura, com o ângulo reto marcado em E).

Subpasso 4.3 — Verificação: aplicar a fórmula da área e conferir com as alternativas

Como ABCD tem diagonais perpendiculares (AC ⊥ BD), sua área é dada por:

Área = (AC × BD) / 2 = (42 × 32) / 2 = 1344 / 2 = 672 cm²

Conferindo: 672 aparece exatamente como a alternativa E. Os demais valores das alternativas (58, 96, 108, 184) correspondem a resultados de contas parciais ou incompletas — nenhum deles combina as duas diagonais corretamente, o que reforça que 672 é o valor coerente com a geometria da figura.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 58.

❌ Incorreta: 58 é próximo da soma AE + BE (12 + 16 = 28, nem isso bate) ou de somas parciais de lados/segmentos sem sentido geométrico — não corresponde a nenhuma etapa válida do cálculo da área. É o tipo de erro de quem soma segmentos aleatórios em vez de aplicar Pitágoras e a fórmula da área.

B) 96.

❌ Incorreta: esse valor pode surgir de uma tentativa equivocada de calcular a área de apenas um dos quatro triângulos retângulos e multiplicar por um fator errado, ou de confundir a semidiagonal com a diagonal completa (por exemplo, usar (16×12)/2 = 96, que é apenas a área do triângulo ABE isolado, não da pipa inteira).

C) 108.

❌ Incorreta: resulta de erro ao tentar montar a área com apenas parte das medidas (como usar 12 e 18, ou outra combinação parcial dos catetos), sem completar corretamente as diagonais AC = 42 e BD = 32. Ignora que a área da pipa precisa das diagonais totais, não de segmentos isolados.

D) 184.

❌ Incorreta: esse número pode surgir de somar áreas de triângulos calculadas com valores trocados (por exemplo, confundir AE com AC ou BE com BD), gerando um resultado intermediário que não representa a área completa do quadrilátero. É um erro comum de quem esquece de multiplicar por 2 as semidiagonais antes de aplicar a fórmula.

E) 672.

✅ Correta: aplicando corretamente o Teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos (BCE e ABE) obtemos BE = 16 cm e AE = 12 cm, o que fornece as diagonais completas BD = 32 cm e AC = 42 cm. Como as diagonais são perpendiculares, a área da pipa é (42 × 32)/2 = 672 cm², batendo exatamente com o gabarito oficial.

🏆 Gabarito: E — a área de 672 cm² é obtida ao reconstruir as diagonais completas (AC = 42 cm e BD = 32 cm) via Pitágoras nos triângulos retângulos formados pelo ponto E, e aplicar a fórmula Área = (d₁ × d₂)/2, válida para quadriláteros com diagonais perpendiculares.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E (672 cm²) corresponde ao produto correto das duas diagonais completas divididas por 2; todas as outras alternativas resultam de cálculos parciais ou trocas entre semidiagonais e diagonais.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de esconder uma das diagonais (ou parte dela) dentro de lados do polígono, obrigando o estudante a "desmontar" a figura em triângulos retângulos usando o ponto de interseção das diagonais — é um clássico em questões de pipas, losangos e quadriláteros com simetria.
• Generalização: sempre que um quadrilátero tiver diagonais perpendiculares (pipa, losango, ou até quadrado/quadrilátero irregular com essa propriedade), a área é sempre Área = (diagonal maior × diagonal menor)/2 — não é preciso decompor em triângulos e somar área por área se você já tem as duas diagonais completas.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente a ordem de grandeza: se as diagonais rondam 30-40 cm, o produto delas divididas por 2 dificilmente será um número pequeno como 58 ou 96 — esses valores "baixos demais" já indicam erro de cálculo parcial, permitindo eliminar A, B e C rapidamente antes mesmo de refazer as contas.
• Conexões: essa questão dialoga com problemas de losango (onde a mesma fórmula de área se aplica) e com problemas de relações métricas em triângulos retângulos, como o cálculo de alturas relativas à hipotenusa — ambos temas recorrentes no ENEM.