Questão 172 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume do cilindro) e Proporcionalidade/Otimização
• ⚡ Nível: Médio — exige não só aplicar a fórmula do cilindro, mas interpretar uma restrição de desigualdade ("no mínimo o triplo") combinada com uma condição de otimização ("menor custo")
• 🎯 Tema/Habilidade: Volume de sólidos geométricos e escala de grandezas — resolver problema que envolve variação proporcional de medidas de figuras espaciais
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre 5 formas de redimensionar a lata, encontre a que gera volume igual ou maior que o triplo do original, mas com o menor volume possível dentre essas — já que preço e volume crescem juntos."
• Palavras-chave decisivas: no mínimo, o triplo, menor custo possível, diretamente proporcional
• Armadilha típica: achar que "quanto maior o fator multiplicador citado na opção" (como multiplicar o raio por 6), maior a vantagem, ou confundir "atender a exigência" com "ser a resposta certa" — várias opções atendem ao mínimo de triplicar o volume, mas só uma o faz com o menor custo.
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular o volume final de cada uma das cinco opções em função do volume original V, comparar cada resultado com a exigência V' ≥ 3V e escolher, entre as que cumprem essa condição, a de menor volume (logo, menor preço).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro: V = π·r²·h. O raio aparece elevado ao quadrado e a altura em primeiro grau — por isso, alterar o raio impacta o volume de forma muito mais intensa do que alterar a altura na mesma proporção.
• Escala de grandezas: se uma dimensão linear é multiplicada por um fator k, o efeito sobre o volume depende de como essa grandeza aparece na fórmula: multiplicar só a altura por k multiplica o volume por k; multiplicar só o raio por k multiplica o volume por k² (pois r está ao quadrado).
• Proporcionalidade direta: o enunciado afirma que o preço é diretamente proporcional ao volume. Logo, minimizar o custo é matematicamente equivalente a minimizar o volume da lata escolhida.
• Otimização com restrição de desigualdade: quando o problema exige "no mínimo" um valor e busca o menor custo, a solução ótima está sempre na fronteira da restrição — ou seja, no menor volume que ainda satisfaz V' ≥ 3V, nunca em um volume folgadamente maior que o necessário.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "com, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica das que estão em uso" → define a restrição matemática V' ≥ 3V, que todas as opções precisam satisfazer para serem elegíveis.
• Evidência 2: "com o menor custo possível" somado a "o preço de cada lata é diretamente proporcional à sua capacidade volumétrica" → transforma o problema em: dentre as opções que satisfazem V' ≥ 3V, escolher aquela de menor V'.
• Síntese: a resposta correta não é a opção que mais aumenta o volume, e sim a que aumenta o volume o mínimo necessário para cumprir a exigência — o equilíbrio mais econômico entre atender à demanda e gastar menos material.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Estabelecendo o volume original como referência

Seja V = π·r²·h o volume da lata atualmente em uso, com raio r e altura h. Cada opção descreve uma transformação dessas duas medidas, e o objetivo é escrever o novo volume V' em função de V para cada caso.

Subpasso 4.2 — Calculando V' para as cinco opções

• Opção I (raio × 6, altura mantida): V' = π·(6r)²·h = 36·π·r²·h = 36V
• Opção II (área da base × 3, altura × 3): a área da base é π·r²; triplicá-la e triplicar a altura dá V' = (3·π·r²)·(3h) = 9·π·r²·h = 9V
• Opção III (raio × 3, altura mantida): V' = π·(3r)²·h = 9·π·r²·h = 9V
• Opção IV (raio mantido, altura × 3): V' = π·r²·(3h) = 3·π·r²·h = 3V
• Opção V (raio × 3, altura × 3): V' = π·(3r)²·(3h) = 9·π·r²·3h = 27·π·r²·h = 27V

Subpasso 4.3 — Verificação e escolha do menor custo

Todas as cinco opções satisfazem V' ≥ 3V (36V, 9V, 9V, 3V e 27V são todos maiores ou iguais a 3V), então todas "funcionam" no sentido de embalar o novo produto. Mas como o preço acompanha o volume, a fábrica quer o menor V' possível dentro desse conjunto. Comparando os valores — 3V < 9V = 9V < 27V < 36V — o menor volume que ainda cumpre a exigência mínima é exatamente 3V, alcançado apenas pela Opção IV. Isso confirma o padrão conceitual: como o raio entra ao quadrado na fórmula, qualquer opção que o multiplica (I, III e V) "desperdiça" volume — e, portanto, dinheiro — muito além do necessário. Alterar apenas a altura, que entra de forma linear, é o caminho mais econômico para atingir exatamente o triplo exigido.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I

❌ Incorreta: a opção I multiplica o raio por 6, e como o raio é elevado ao quadrado na fórmula do volume, o resultado é V' = 36V — a maior capacidade (e o maior custo) entre todas as cinco opções. Atende à exigência de volume mínimo com folga enorme, mas viola completamente o critério de menor custo.

B) II

❌ Incorreta: triplicar simultaneamente a área da base e a altura multiplica o volume por 3 × 3 = 9, resultando em V' = 9V. É o triplo do próprio requisito mínimo (3V), ou seja, gera três vezes mais volume — e mais custo — do que o estritamente necessário.

C) III

❌ Incorreta: triplicar apenas o raio já eleva o volume por um fator de 3² = 9, chegando também a V' = 9V. Mesmo alterando só uma dimensão, o fato de essa dimensão ser o raio (que entra ao quadrado) produz o mesmo excesso de custo da opção II — é a armadilha clássica de associar a palavra "triplo" do enunciado diretamente ao raio, sem considerar o expoente da fórmula.

D) IV

✅ Correta: ao manter o raio e triplicar apenas a altura — grandeza que entra linearmente na fórmula V = π·r²·h —, o volume é multiplicado por exatamente 3, resultando em V' = 3V. Essa é a única opção que atinge o mínimo exigido sem ultrapassá-lo, ou seja, a que garante o menor custo possível respeitando a exigência da fábrica.

E) V

❌ Incorreta: triplicar raio e altura simultaneamente multiplica o volume por 3² × 3 = 27, resultando em V' = 27V. É a segunda opção mais cara da lista, muito acima do mínimo necessário.

🏆 Gabarito: D — a opção IV é a única que resulta em volume exatamente igual ao triplo exigido (V' = 3V), atendendo à exigência mínima da fábrica com o menor custo possível, já que o preço é diretamente proporcional ao volume.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como preço e volume são diretamente proporcionais, qualquer opção com volume maior que 3V custa mais do que necessário. Só a opção IV bate exatamente o piso da exigência, tornando-a a única resposta compatível simultaneamente com "capacidade mínima" e "menor custo".
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente problemas de escala em sólidos geométricos (cilindros, cones, prismas, esferas), testando se o estudante percebe que dimensões elevadas ao quadrado ou ao cubo (raio, aresta) impactam o volume de forma desproporcionalmente maior do que dimensões lineares (altura).
• Generalização: em problemas de otimização com restrição do tipo "no mínimo X", a solução mais econômica está sempre na fronteira da desigualdade — ou seja, no menor valor que ainda satisfaz exatamente a condição mínima, nunca em uma alternativa "de sobra".
• Dica de eliminação rápida: descarte primeiro toda opção que altera o raio (I, III e V), pois isso sempre eleva o volume ao quadrado e encarece a lata; entre as restantes (II e IV), escolha a que resulta no menor múltiplo do volume original — no caso, a que bate exatamente o triplo.
• Conexões: proporcionalidade e escala de grandezas; funções quadráticas aplicadas à geometria; problemas de otimização com restrições, comuns também em questões de embalagens e menor superfície/menor custo de material.