Questão 128 — ENEM 2024 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Física → Circuitos Elétricos (associação de resistores em paralelo + resistência interna de fonte)
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar Lei de Ohm generalizada, resistência equivalente de N resistores em paralelo e álgebra com literais (sem números), o que eleva bastante a dificuldade em relação a um exercício numérico direto
• 🎯 Tema/Habilidade: Corrente elétrica em circuito com fonte real (EMF + resistência interna r) alimentando uma associação em paralelo — competência de modelar circuitos elétricos e generalizar relações algébricas (H21/H22 da matriz ENEM)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva, em função de R (resistência de cada lâmpada) e r (resistência interna da fonte), o fator α que relaciona a corrente total do circuito com 40 lâmpadas à corrente do circuito com 20 lâmpadas."
• Palavras-chave decisivas: em paralelo, resistência interna r, proporcional (i₄₀ = α·i₂₀)
• Armadilha típica: comparar apenas as resistências equivalentes das duas associações (R/40 contra R/20) e esquecer que a resistência interna r da fonte também participa do circuito — ela não é anulada nem dividida quando se adicionam lâmpadas.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de escrever a corrente total de um circuito com fonte real (i = ε/(R_eq + r)) para dois valores de N, e depois montar corretamente a razão entre elas, mantendo a fonte ε constante.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Resistência equivalente em paralelo: para N resistores iguais de resistência R associados em paralelo, 1/R_eq = N/R, logo R_eq = R/N. Quanto mais lâmpadas iguais são ligadas em paralelo, menor é a resistência equivalente do conjunto.
• Circuito com fonte real: toda fonte (pilha, bateria, transformador do pisca-pisca) tem uma resistência interna r. A corrente total do circuito, pela Lei de Ohm generalizada, é i = ε/(R_eq + r), onde ε é a força eletromotriz (fem) da fonte, suposta constante.
• Proporcionalidade entre correntes: se a fem ε não muda, comparar i₄₀ e i₂₀ é comparar apenas os denominadores (R_eq + r) das duas configurações — o α pedido nada mais é do que essa razão de denominadores invertida.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "20 lâmpadas associadas em paralelo, cada uma com resistência R" → define R_eq(20) = R/20.
• Evidência 2: "circuito passou a ser composto por 40 lâmpadas em paralelo e uma fonte de resistência interna r" → define R_eq(40) = R/40, com a mesma fonte (mesma ε e mesma r) alimentando os dois casos.
• Evidência 3: "i₄₀ = α · i₂₀ ... fator α, utilizado para a obtenção da redução do brilho" → α é definido como a razão entre as duas correntes totais do circuito (i₄₀/i₂₀); é esse número que, na sequência do raciocínio físico, explica por que cada lâmpada passou a brilhar menos (mais corrente total drenada da fonte → maior queda de tensão em r → menos tensão sobrando para as lâmpadas).
• Síntese: o problema pede uma comparação puramente algébrica entre duas aplicações da mesma fórmula i = ε/(R_eq + r), variando apenas N (de 20 para 40) e cancelando a fem ε, que é a mesma fonte nos dois momentos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a corrente total para N lâmpadas em paralelo

O circuito é uma malha única: a fonte (ε, r) em série com o bloco equivalente das N lâmpadas em paralelo (R_eq = R/N). Pela Lei de Ohm generalizada (soma das quedas de tensão = fem):

ε = i_N · r + i_N · R_eq ⟹ i_N = ε / (R_eq + r) = ε / (R/N + r).

Subpasso 4.2 — Particularizar para N = 20 e N = 40 e formar a razão

i₂₀ = ε / (R/20 + r)

i₄₀ = ε / (R/40 + r)

Como a fonte é a mesma em ambos os casos, ε é idêntico nas duas equações e se cancela na divisão:

α = i₄₀ / i₂₀ = [ε / (R/40 + r)] ÷ [ε / (R/20 + r)] = (R/20 + r) / (R/40 + r).

Essa é exatamente a expressão da alternativa C.

Subpasso 4.3 — Verificação por casos-limite

Testando os extremos de r, a fórmula se comporta de forma fisicamente coerente:

• Se r → 0 (fonte ideal): α → (R/20)/(R/40) = 2, ou seja, a corrente total dobra ao dobrar o número de ramos em paralelo — exatamente o que se espera de um circuito puramente resistivo.

• Se r → ∞ (resistência interna domina): α → 1, ou seja, a corrente quase não muda, pois é o próprio r que limita o circuito, independentemente de quantas lâmpadas estão ligadas.

Logo α está sempre entre 1 e 2, nunca é menor que 1 — o que já descarta de imediato qualquer alternativa fracionária menor que 1 (como 1/2 ou 1/20), reforçando C como única resposta coerente com o comportamento físico do circuito.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/2

❌ Incorreta: é a razão inversa das resistências equivalentes, R_eq(40)/R_eq(20) = (R/40)/(R/20) = 1/2, mas essa não é a razão das correntes. Corrente é inversamente proporcional à resistência total (R_eq + r), não diretamente proporcional a R_eq isolado — e como mostrado no caso-limite, a razão de correntes nunca pode ser menor que 1, então 1/2 é fisicamente impossível aqui.

B) 1/20

❌ Incorreta: usa o número de lâmpadas originais (20) diretamente como se fosse um fator de proporcionalidade de corrente, sem nenhuma base na Lei de Ohm. Não há operação do circuito que produza esse valor; é uma combinação numérica sem significado físico dentro do modelo i = ε/(R_eq + r).

C) (R/20 + r) / (R/40 + r)

✅ Correta: é exatamente a razão i₄₀/i₂₀ obtida ao aplicar i_N = ε/(R/N + r) para N = 20 e N = 40 e cancelar a fem ε comum às duas situações, como demonstrado no Passo 4.

D) (R/40 + r) / (R/20 + r)

❌ Incorreta: é o inverso de C, ou seja, corresponde a i₂₀/i₄₀ em vez de i₄₀/i₂₀. Erro clássico de trocar numerador e denominador ao montar a razão pedida pelo enunciado (que define explicitamente i₄₀ = α·i₂₀, e não o contrário).

E) R/40 + r

❌ Incorreta: essa expressão tem unidade de resistência (ohms), não é adimensional. Ela representa apenas o denominador usado para calcular i₄₀ isoladamente (i₄₀ = ε/(R/40+r)), mas não é a razão entre as duas correntes — confunde uma etapa intermediária do cálculo com o resultado final pedido.

🏆 Gabarito: C — α = i₄₀/i₂₀ = (R/20 + r)/(R/40 + r), obtido ao aplicar a fórmula da corrente em um circuito com fonte real (i = ε/(R_eq + r)) às duas configurações de lâmpadas e cancelar a fem constante da fonte.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa adimensional, com numerador e denominador na ordem correta (i₄₀ dividido por i₂₀, como o próprio enunciado define), e compatível com o fato de que α nunca pode ser menor que 1 nesse tipo de circuito.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora usar situações do cotidiano (pisca-pisca de Natal, chuveiro elétrico, lanterna) para cobrar circuitos com resistência interna de fonte, sempre reforçando que uma fonte real "perde" tensão internamente quando a corrente total aumenta.
• Generalização: sempre que uma questão envolver N resistores iguais em paralelo mais uma resistência interna r, escreva primeiro R_eq = R/N e depois monte i = ε/(R_eq + r); qualquer razão entre correntes em situações diferentes se resolve cancelando a fem, que costuma ser a mesma fonte.
• Dica de eliminação rápida: calcule o caso-limite r = 0 mentalmente (aqui dá 2) e o caso r → ∞ (aqui dá 1); qualquer alternativa fora do intervalo [1, 2] — como frações menores que 1 (A, B) — pode ser descartada em segundos, sem precisar nem terminar a álgebra completa.
• Conexões: associação de resistores em série e em paralelo; potência elétrica (P = i²R) para relacionar corrente com brilho/luminosidade de lâmpadas; curva característica de fontes reais (tensão terminal versus corrente).