Questão 180 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Taxas de variação constantes (problemas de vazão: encher e esvaziar simultaneamente)
• ⚡ Nível: Difícil — exige modelar três etapas com taxas diferentes e perceber que, entre 18 h e 18 h 40 min, a chuva e o ralo agem ao mesmo tempo
• 🎯 Tema/Habilidade: Proporcionalidade e taxa de variação aplicadas a vazão, com leitura cuidadosa da linha do tempo
• 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Depois que a chuva para (18 h 40 min) com 15 cm de água na piscina, quanto tempo o ralo leva para esvaziar tudo — e em que faixa de horário isso termina?"
• Palavras-chave decisivas: intensidade constante, vazão é constante, 17 h 15 min, 18 horas → 20 cm, 18 h 40 min → 15 cm, a chuva cessa
• Armadilha típica: tomar a queda observada de 5 cm em 40 minutos como se fosse a vazão do ralo. Não é! Nesses 40 minutos a chuva continuava caindo — o ralo teve de escoar toda a água da chuva e mais os 5 cm que sumiram. A vazão real do ralo é bem maior do que a queda aparente do nível.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de separar as três fases (só chuva → chuva + ralo → só ralo) e de somar corretamente as taxas: taxa observada = taxa de entrada − taxa de saída.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Taxa constante: "intensidade constante" (chuva) e "vazão constante" (ralo) garantem que cada fenômeno faz o nível variar sempre na mesma quantidade por minuto. Isso permite trabalhar com centímetros por minuto.
• Taxas que se somam algebricamente: quando a chuva enche e o ralo esvazia simultaneamente, a variação observada é a diferença entre elas:

taxa observada = taxa da chuva − taxa do ralo

Se o nível cai, a taxa observada é negativa, e o ralo é mais forte que a chuva.

• Trabalhar com o nível (cm), não com o volume: como a piscina é um paralelepípedo retângulo, a área da base é constante. Assim, volume e altura são diretamente proporcionais, e podemos raciocinar direto em centímetros de altura — a área da base nunca precisa ser conhecida.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Às 17 h 15 min começa uma forte chuva [...] às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm" → nesses 45 minutos (17 h 15 min → 18 h) só existia chuva, sem ralo. Isso dá a taxa da chuva: 20 cm em 45 min.
• Evidência 2: "Nesse instante, é aberto o registro [...] Às 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm" → durante esses 40 minutos, chuva e ralo funcionaram JUNTOS, e o saldo foi uma queda de 20 cm para 15 cm, isto é, −5 cm.
• Evidência 3: "O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente" → a partir de 18 h 40 min, só o ralo age, drenando os 15 cm restantes.
• Síntese: a fase 1 revela a taxa da chuva; a fase 2, combinada com a taxa da chuva, revela a vazão do ralo; a fase 3 usa a vazão do ralo para esvaziar os 15 cm finais.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Fase 1 (só chuva): descobrir a taxa da chuva

De 17 h 15 min até 18 h → 45 minutos, subindo 20 cm (a piscina estava vazia).

Taxa da chuva = 20 cm ÷ 45 min = 4/9 cm/min (≈ 0,444 cm/min)

Subpasso 4.2 — Fase 2 (chuva + ralo): descobrir a vazão do ralo

De 18 h até 18 h 40 min → 40 minutos, com o nível caindo de 20 cm para 15 cm, ou seja, uma variação de −5 cm.

Taxa observada = −5 cm ÷ 40 min = −1/8 cm/min (≈ −0,125 cm/min)

Mas essa é a taxa líquida: a chuva ainda estava enchendo enquanto o ralo escoava. Chamando de r a vazão do ralo (em cm/min, valor positivo):

taxa observada = taxa da chuva − r

−1/8 = 4/9 − r

Isolando r:

r = 4/9 + 1/8

Colocando no mesmo denominador (72):

r = 32/72 + 9/72 = 41/72 cm/min (≈ 0,569 cm/min)

Perceba a diferença crucial: o ralo escoa a ≈ 0,569 cm/min, e não a 0,125 cm/min. Ele precisa vencer toda a chuva que continua caindo e ainda fazer o nível baixar.

Subpasso 4.3 — Fase 3 (só ralo): verificar quanto tempo falta

A partir de 18 h 40 min, a chuva parou. Restam 15 cm de água, escoando à taxa de 41/72 cm/min:

tempo = 15 ÷ (41/72)

tempo = 15 × (72/41)

tempo = 1 080/41

tempo ≈ 26,3 minutos (mais precisamente, ≈ 26 min 20 s)

Somando ao instante em que a chuva cessou:

18 h 40 min + 26,3 min ≈ 19 h 06 min

Esse horário está compreendido entre 19 h e 19 h 10 min — alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 19 h 30 min e 20 h 10 min.

❌ Incorreta: para terminar nesse intervalo, o ralo teria de levar entre 50 e 90 minutos para escoar 15 cm — uma vazão entre 0,17 e 0,30 cm/min, muito abaixo dos 0,569 cm/min calculados. É o resultado de subestimar o ralo, tomando a queda líquida observada (5 cm em 40 min = 0,125 cm/min) como se fosse a vazão dele e ignorando que a chuva continuava enchendo a piscina nesse período.

B) 19 h 20 min e 19 h 30 min.

❌ Incorreta: exigiria de 40 a 50 minutos de escoamento, isto é, uma vazão em torno de 0,32 cm/min. Esse valor aparece quando se subtrai em vez de somar na equação das taxas (4/9 − 1/8 = 23/72 ≈ 0,32 cm/min). O sinal está trocado: como o nível caiu apesar da chuva, o ralo tem de ser mais forte que a chuva, logo r = chuva + queda líquida.

C) 19 h 10 min e 19 h 20 min.

❌ Incorreta: exigiria de 30 a 40 minutos de escoamento. É o erro de calcular a taxa da chuva usando 1 hora em vez de 45 minutos (20 cm ÷ 60 min = 1/3 cm/min), o que subestima a chuva e, por consequência, o ralo (r = 1/3 + 1/8 ≈ 0,458 cm/min → ≈ 32,7 min → 19 h 13 min). A chuva começou às 17 h 15 min, não às 17 h: são 45 minutos até as 18 h.

D) 19 h e 19 h 10 min.

✅ Correta: com a taxa da chuva de 4/9 cm/min (20 cm em 45 min) e a queda líquida de 1/8 cm/min (5 cm em 40 min), o ralo escoa a 4/9 + 1/8 = 41/72 cm/min. Os 15 cm restantes levam 15 ÷ (41/72) = 1 080/41 ≈ 26,3 min, e 18 h 40 min + 26,3 min ≈ 19 h 06 min — dentro desse intervalo.

E) 18 h 40 min e 19 h.

❌ Incorreta: exigiria escoar os 15 cm em menos de 20 minutos, ou seja, uma vazão superior a 0,75 cm/min — superestima o ralo em mais de 30%. Esse valor viria de atribuir ao ralo mais do que a soma da taxa da chuva com a queda líquida, contrariando a equação r = 4/9 + 1/8 ≈ 0,569 cm/min.

🏆 Gabarito: D — a chuva enche a 4/9 cm/min e o ralo escoa a 41/72 cm/min; os 15 cm restantes às 18 h 40 min levam 1 080/41 ≈ 26,3 min para sumir, terminando por volta de 19 h 06 min, entre 19 h e 19 h 10 min.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é o único intervalo que contém 19 h 06 min. As demais alternativas correspondem a vazões do ralo incompatíveis com os dados: A e C subestimam o ralo (por erro de leitura do tempo ou por ignorar a chuva simultânea), B troca o sinal na soma das taxas, e E o superestima.
• Padrão de cobrança: problemas de torneira-e-ralo são clássicos do ENEM. O truque quase sempre é o mesmo: um período em que as duas coisas acontecem ao mesmo tempo, exigindo separar a taxa observada das taxas individuais.
• Generalização: quando entrada e saída atuam juntas, use taxa observada = taxa de entrada − taxa de saída. Se o nível cai, a saída vence a entrada e a taxa de saída é a soma (em módulo) da entrada com a queda observada: r = entrada + |queda|.
• Dica de eliminação rápida: o ralo é claramente mais forte que a chuva (o nível caiu mesmo chovendo). Como a chuva sozinha subiu 20 cm em 45 min, o ralo sozinho tem de escoar 20 cm em menos de 45 min — logo, 15 cm em bem menos de 34 min. Isso já mata A (que exige mais de 50 min) e B (que exige mais de 40 min).
• Conexões: taxa de variação, funções afins definidas por partes, vazão em Física (Q = V/t) e regra de três — tudo aparece junto nesse tipo de questão.