Questão 143 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (distribuição de objetos idênticos em grupos — "bolas e urnas")
• ⚡ Nível: Difícil — exige reconhecer que o problema NÃO é uma combinação simples, mas um caso de distribuição com restrição de mínimo por grupo, técnica pouco praticada pela maioria dos candidatos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de agrupamentos com elementos indistinguíveis (posição irrelevante) e categorias com quantidade mínima obrigatória — competência de resolver problemas de contagem por meio de estratégias diversas.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas formas posso repartir 10 carrinhos entre 4 cores, com pelo menos 1 carrinho de cada cor, sem me importar com a posição deles no caminhão?"
• Palavras-chave decisivas: pelo menos um carrinho de cada cor, mudança de posição não gera novo modelo, dez carrinhos
• Armadilha típica: tratar os 10 carrinhos como objetos distintos (como se a posição no caminhão importasse) e aplicar potências como 4¹⁰ — isso ignora que a posição não gera modelo novo.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o "modelo" do brinquedo é definido só pela quantidade de carrinhos de cada cor, contada pela técnica correta de distribuição com mínimo garantido.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Objetos idênticos vs. objetos distintos: como a posição dos carrinhos não altera o modelo, os 10 carrinhos funcionam, para fins de contagem, como 10 unidades indistinguíveis — o que importa é só "quantos" de cada cor, não "quais".
• Distribuição em grupos com mínimo (bolas e urnas): repartir n itens idênticos em k categorias distintas, exigindo pelo menos 1 item por categoria, é um problema clássico de combinatória cuja contagem é dada por C(n−1, k−1).
• Combinação simples C(n,p): conta agrupamentos de p elementos escolhidos entre n, sem repetição e sem importar ordem — é a ferramenta final usada aqui, mas aplicada sobre "espaços entre os carrinhos", não sobre os carrinhos em si.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada carrinho é pintado apenas com uma cor" → cada um dos 10 carrinhos recebe exatamente 1 das 4 cores — confirma que estamos particionando 10 unidades em 4 categorias.
• Evidência 2: "deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores" → nenhuma categoria pode ficar vazia; a distribuição é em inteiros positivos (mínimo 1), não em inteiros não negativos.
• Evidência 3: "mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo" → a ordem é irrelevante; dois brinquedos são o "mesmo modelo" se, e só se, tiverem a mesma quantidade de carrinhos de cada cor.
• Síntese: o problema se resume a contar quantas soluções em números inteiros positivos existem para a + b + c + d = 10, em que a, b, c e d são as quantidades de carrinhos amarelos, brancos, laranjas e verdes, respectivamente.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir o problema para uma equação

Sejam a, b, c, d o número de carrinhos amarelos, brancos, laranjas e verdes. Como todos os 10 carrinhos são pintados e cada um recebe só uma cor:

a + b + c + d = 10, com a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1, d ≥ 1 (inteiros)

Contar os "modelos distintos" é contar quantas soluções (a, b, c, d) essa equação admite — já que a posição não importa, cada solução numérica corresponde a exatamente um modelo do brinquedo.

Subpasso 4.2 — Aplicar a técnica de "bolas e urnas" (stars and bars)

Imagine os 10 carrinhos enfileirados, um do lado do outro:

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Entre esses 10 carrinhos existem exatamente 9 espaços (entre o 1º e o 2º, entre o 2º e o 3º, ..., entre o 9º e o 10º). Para dividir essa fila em 4 blocos consecutivos (um bloco = uma cor), basta escolher 3 desses 9 espaços para colocar "cortes":

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Cada escolha de 3 espaços entre os 9 disponíveis gera uma divisão em 4 blocos, todos com pelo menos 1 carrinho (pois os cortes ficam sempre entre carrinhos, nunca "duplicados" no mesmo espaço). Como a ordem dos carrinhos não importa (só a quantidade em cada bloco), essa contagem é exatamente igual ao número de modelos distintos.

O número de formas de escolher 3 espaços entre 9 é uma combinação simples:

C₉,₃ = 9! / (3! · 6!) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 504 / 6 = 84

Subpasso 4.3 — Verificação por outro caminho

Confira: separe 1 carrinho para cada cor (garante o mínimo), consumindo 4 dos 10; sobram 6 carrinhos para distribuir livremente entre as 4 cores. O número de formas de distribuir 6 itens idênticos em 4 grupos sem mínimo é C(6+4−1, 4−1) = C(9,3) = 84 — mesmo resultado, confirmando a resposta na forma C⁹,₃.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) C⁶,⁴

❌ Incorreta: após reservar 1 carrinho para cada cor (sobrando 6), o erro é tentar "escolher 4" desses 6 com combinação simples — isso mistura os papéis de "itens restantes" e "categorias" sem aplicar a fórmula correta de combinação com repetição.

B) C⁹,₃

✅ Correta: é o resultado da técnica de bolas e urnas — escolher 3 pontos de corte entre os 9 espaços que separam os 10 carrinhos enfileirados, gerando os 4 grupos (cores) com pelo menos 1 carrinho cada. C₉,₃ = 84.

C) C¹⁰,₄

❌ Incorreta: usaria 10 (total de carrinhos) e 4 (número de cores) como se fosse "escolher 4 carrinhos entre 10" — confunde o total de itens com o número de espaços de corte, que é 9 (n−1), não 10.

D) 6⁴

❌ Incorreta: trataria os 6 carrinhos "extras" como objetos distintos, elevando um valor arbitrário (6) à potência do número de cores — um "chute estrutural" sem base combinatória, que ignora a indistinguibilidade dos carrinhos.

E) 4⁶

❌ Incorreta: atribuiria, a cada um dos 6 carrinhos restantes (tratados como distintos), uma entre 4 cores livremente — só valeria se a posição de cada carrinho importasse, o que o enunciado nega ao afirmar que a mudança de posição não gera um novo modelo.

🏆 Gabarito: B — o número de modelos distintos é C⁹,₃ = 84, obtido ao distribuir 10 carrinhos idênticos (quanto à posição) em 4 cores, cada uma com pelo menos 1 carrinho, via a técnica de bolas e urnas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente C⁹,₃ representa corretamente a contagem de soluções inteiras positivas de a+b+c+d=10, que é o modelo matemático fiel ao enunciado (itens idênticos, categorias com mínimo 1, ordem irrelevante).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma "camuflar" problemas de distribuição em grupos (bolas e urnas) dentro de contextos do cotidiano — brinquedos, doces, bolas em urnas, funcionários em setores — sempre com a pista "posição/ordem não importa" e "cada grupo deve ter pelo menos 1".
• Generalização: para distribuir n itens idênticos em k categorias distintas com pelo menos 1 item por categoria, o total de distribuições é sempre C(n−1, k−1); sem a exigência de mínimo, a fórmula vira C(n+k−1, k−1).
• Dica de eliminação rápida: primeiro identifique n (itens) e k (categorias); a resposta correta quase sempre tem a forma C(n−1, k−1) — aqui, n=10 e k=4, logo é C(9,3). Descarte de cara qualquer alternativa com potência (como 6⁴ ou 4⁶), pois potências contam funções entre conjuntos distintos, não distribuições de itens idênticos.
• Conexões: compare com problemas de "permutação com repetição" (quando a ordem importa) e com "combinação completa/com repetição" (quando não há exigência de mínimo por categoria) — são as três variações mais cobradas de contagem por distribuição no ENEM.