Questão 167 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (esfera, calota esférica) + Funções Quadráticas (otimização com restrição)
• ⚡ Nível: Difícil — exige interpretar corretamente a figura (qual segmento é h, qual é o raio da esfera), montar uma relação de Pitágoras não trivial e, principalmente, entender qual área deve ser maximizada, o que é a verdadeira armadilha da questão.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relações métricas em sólidos de revolução (calota esférica) aplicadas a um problema de otimização com restrição — competência de modelar matematicamente uma situação real usando geometria espacial.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a altura h da calota a ser cortada de um melão esférico de diâmetro 10 cm, sabendo que o raio r do corte deve ser de no mínimo 3 cm e que se deseja maximizar a área da superfície onde os doces serão espetados."
• Palavras-chave decisivas: pelo menos 3 cm (restrição mínima, não fixa), maior área possível (objetivo de otimização), região em que serão afixados os doces (define QUAL superfície importa).
• Armadilha típica: confundir a "área a maximizar" com a área do círculo de corte (πr²) — quando na verdade a "região dos doces" é a superfície curva do melão que sobra, e não a face plana do corte, que fica apoiada na mesa.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a figura em uma relação algébrica correta (Pitágoras entre R, h e r) e de identificar que maximizar a área útil significa minimizar a calota removida, respeitando r ≥ 3.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Calota esférica: porção de uma esfera cortada por um plano. Sua altura h é a distância entre o "polo" da esfera e o plano de corte.
• Relação raio-altura em uma calota: se R é o raio da esfera, h a altura da calota e r o raio da seção circular de corte, vale r² = R² − (R − h)² = h(2R − h) — consequência do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo centro O, pelo ponto A (centro do corte) e por um ponto B da borda.
• Área lateral (curva) da calota: teorema de Arquimedes garante que a área da superfície curva de uma calota depende só de R e h: A = 2πRh.
• Otimização com restrição: quando o objetivo é maximizar/minimizar uma grandeza sujeita a uma desigualdade (aqui, r ≥ 3), a solução ótima costuma estar na fronteira da restrição.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "diâmetro medindo 10 cm" → o raio da esfera é R = 5 cm (não confundir diâmetro com raio — essa troca é justamente uma das armadilhas das alternativas).
• Evidência 2 (na figura): a legenda "Região onde serão afixados os doces" aponta para a calota maior, curva, que fica por cima do corte — não para a face plana hachurada (que a própria figura identifica como "a parte hachurada será apoiada na mesa"). Isso muda completamente o que precisa ser maximizado.
• Evidência 3: "o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm" → é uma restrição do tipo r ≥ 3, não r = 3. Isso define um intervalo de valores possíveis para h, dentro do qual o chefe escolherá o melhor.
• Síntese: o problema pede o h que minimiza a calota descartada (para sobrar o máximo de superfície curva para os doces) respeitando a condição de estabilidade r ≥ 3. Como veremos, isso acontece exatamente na fronteira r = 3, no menor h possível dentro do domínio físico do problema.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a relação entre r, h e R usando a figura

Na figura, O é o centro da esfera, A é o centro do círculo de corte e B é um ponto da borda desse círculo. O segmento OA é perpendicular a AB = r (ângulo reto marcado em A), formando um triângulo retângulo com hipotenusa OB = R (raio da esfera).

Como o diâmetro é 10 cm, R = 5 cm. A altura h é medida do polo inferior da esfera até o plano de corte, logo a distância do centro O até esse plano é OA = R − h.

Pelo Teorema de Pitágoras:

R² = r² + (R − h)²

r² = R² − (R − h)² = R² − (R² − 2Rh + h²) = 2Rh − h²

Substituindo R = 5:

r² = 10h − h²

Subpasso 4.2 — Aplicar a restrição r ≥ 3 e resolver a desigualdade

Queremos r ≥ 3, ou seja, r² ≥ 9:

10h − h² ≥ 9

h² − 10h + 9 ≤ 0

Resolvendo a equação h² − 10h + 9 = 0 pela fórmula quadrática (a = 1, b = −10, c = 9):

Δ = b² − 4ac = 100 − 36 = 64 → √Δ = 8

h = (10 ± 8)/2 → h = 9 ou h = 1

Como a parábola h² − 10h + 9 tem concavidade para cima, a desigualdade ≤ 0 vale entre as raízes:

1 ≤ h ≤ 9

Esse é o intervalo de alturas de calota que garantem a estabilidade (r ≥ 3).

Subpasso 4.3 — Verificação: qual h dentro desse intervalo maximiza a área para os doces?

A área disponível para espetar doces é a superfície curva que sobra na esfera, isto é:

A_doces = 4πR² − 2πRh (área total da esfera menos a área curva da calota removida, pelo teorema de Arquimedes)

Como R é fixo (5 cm), A_doces é uma função decrescente de h: quanto menor a calota removida, maior a superfície que sobra para os doces. Logo, dentro do intervalo permitido 1 ≤ h ≤ 9, o valor que maximiza A_doces é o menor h possível, ou seja, h = 1.

Conferindo: em h = 1, r² = 10(1) − 1² = 9 → r = 3 cm — exatamente o mínimo exigido para estabilidade, com a menor calota possível descartada. Isso bate com a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 5 – √91/2

❌ Incorreta: esse valor (≈ 0,23) surge de um erro no cálculo do discriminante da equação correta h² − 10h + 9 = 0. Ao aplicar Δ = b² − c em vez de Δ = b² − 4ac (esquecendo de multiplicar o termo independente por 4), obtém-se Δ = 100 − 9 = 91 em vez de 64, gerando raízes irracionais falsas em vez das corretas h = 1 e h = 9.

B) 10 – √91

❌ Incorreta: resulta de confundir diâmetro com raio, usando R = 10 (o diâmetro) em vez de R = 5 na fórmula r² = 2Rh − h². Isso leva à equação h² − 20h + 9 = 0, cujo discriminante é 400 − 36 = 364 = 4·91, dando h = 10 − √91 ≈ 0,46 — um valor sem correspondência física correta com a esfera do problema.

C) 1

✅ Correta: é o menor valor de h dentro do intervalo 1 ≤ h ≤ 9 (garantido pela restrição r ≥ 3), o que minimiza a calota descartada e maximiza a superfície curva restante — exatamente a "região onde serão afixados os doces" indicada na figura.

D) 4

❌ Incorreta: surge de um erro de leitura da figura, aplicando Pitágoras diretamente como r² + h² = R² (tratando h como se fosse a distância OA do centro até o corte) em vez da relação correta r² + (R − h)² = R². Com R = 5 e r = 3: h² = 25 − 9 = 16 → h = 4. O erro está em ignorar que h é medido do polo da esfera até o corte, não do centro.

E) 5

❌ Incorreta: corresponde ao corte equatorial (hemisfério), onde r atinge seu valor máximo possível (r = R = 5). Esse é o erro conceitual central da questão: o estudante maximiza o raio da seção de corte (achando que área maior do círculo de corte = mais espaço), quando na verdade a área a maximizar é a superfície curva remanescente — e essa é maximizada minimizando h, não o contrário.

🏆 Gabarito: C — h = 1 cm é o menor corte possível que ainda garante r ≥ 3 cm de estabilidade, preservando o máximo de superfície esférica curva para a fixação dos doces.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: dentro do intervalo válido 1 ≤ h ≤ 9 (definido pela restrição r ≥ 3), apenas h = 1 minimiza a calota removida e, por consequência, maximiza a área curva disponível para os doces — sendo a única alternativa compatível com os dois objetivos do chefe simultaneamente.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora combinar geometria espacial (aqui, a relação métrica de uma calota esférica via Pitágoras) com um raciocínio de otimização contextualizado em uma situação cotidiana, testando se o aluno interpreta corretamente qual grandeza deve ser maximizada.
• Generalização: sempre que um problema envolver corte de sólidos (esferas, cones, cilindros) com uma restrição de desigualdade, desconfie que a resposta correta está exatamente na fronteira da restrição — resolva a igualdade primeiro para achar os limites do intervalo válido.
• Dica de eliminação rápida: releia a legenda da figura com atenção redobrada: se ela indicar que a área de interesse é a superfície curva (e não a face plana do corte), já é possível descartar de cara a alternativa que maximiza r (aqui, a E) — pois maximizar r é o oposto de minimizar a calota.
• Conexões: revise também "volume de calota esférica" (V = πh²(3R − h)/3) e problemas de otimização com funções quadráticas (vértice de parábola), temas que aparecem juntos com frequência em questões de geometria espacial aplicada.