Questão 104 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Química → Radioatividade e cinética de decaimento (meia-vida)
• ⚡ Nível: Médio — a matemática em si é simples (potências de 1/2), mas a questão exige duas conversões de unidade cuidadosas antes de comparar as atividades.
• 🎯 Tema/Habilidade: Datação por carbono-14 (¹⁴C) a partir da atividade radioativa (emissão beta); compreender e aplicar o conceito de meia-vida a um fenômeno natural.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determine há quantos anos o organismo morreu, comparando a atividade radioativa medida no fóssil com a atividade máxima de um ser vivo."
• Palavras-chave decisivas: 15 emissões beta/(min·g), 6 750 emissões beta por hora, massa igual a 30 g
• Armadilha típica: comparar diretamente o número 6750 (total da amostra, por hora) com o número 15 (específico, por minuto e por grama), sem converter as unidades — isso produz resultados que "batem" numericamente com alternativas erradas, mas são fisicamente incoerentes.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de normalizar a atividade medida para a mesma base do valor de referência (emissões beta por minuto por grama) e, então, usar a meia-vida do ¹⁴C para converter a razão de atividades em tempo decorrido.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Radioatividade e emissão beta: o carbono-14 é um isótopo instável que decai emitindo partículas beta; quanto mais átomos radioativos restam na amostra, maior a frequência de emissões detectadas (a "atividade").
• Meia-vida (T½): é o tempo necessário para que a atividade de um isótopo caia exatamente à metade do valor anterior. Para o ¹⁴C, T½ = 5 730 anos — esse valor é constante e não muda com a massa da amostra.
• Decaimento em "n" meias-vidas: após n meias-vidas completas, a atividade remanescente é A = A₀ × (1/2)ⁿ. Assim, basta descobrir quantas vezes a atividade foi dividida por 2 para saber quantas meias-vidas se passaram, e multiplicar esse número por T½.
• Atividade específica: para comparar corretamente duas medições, elas precisam estar na mesma unidade — aqui, emissões beta por minuto por grama (emissões·min⁻¹·g⁻¹). Uma medição "por hora" e "total da amostra" não pode ser comparada diretamente com uma referência "por minuto" e "por grama".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "para um ser em vida, o máximo são 15 emissões beta/(min·g)" → essa é a atividade específica inicial (A₀), o ponto de partida antes da morte do organismo, já normalizada por minuto e por grama.
• Evidência 2: "a quantidade de ¹⁴C se reduz pela metade a cada 5 730 anos" → define a meia-vida do isótopo, a "régua" que converte razão de atividades em anos.
• Evidência 3: "fragmento fóssil de massa igual a 30 g... 6 750 emissões beta por hora" → é a atividade TOTAL do fóssil, medida em unidade diferente da referência (por hora, não por minuto; total da amostra, não por grama) — precisa ser convertida antes de qualquer comparação.
• Síntese: o caminho da resolução é: (1) converter 6 750 emissões/hora em emissões/min; (2) dividir pela massa (30 g) para obter a atividade específica do fóssil; (3) comparar essa atividade com os 15 emissões/(min·g) de um ser vivo; (4) descobrir quantas meias-vidas se passaram; (5) multiplicar por 5 730 anos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Converter a atividade total de "por hora" para "por minuto"

A medição fornecida foi de 6 750 emissões beta por hora, para toda a amostra de 30 g. Como 1 hora = 60 minutos:

6 750 ÷ 60 = 112,5 emissões beta por minuto (ainda referente à amostra inteira de 30 g).

Subpasso 4.2 — Converter para atividade específica (por grama)

Agora é preciso dividir pela massa da amostra para obter a atividade nas mesmas unidades do valor de referência do ser vivo (emissões beta·min⁻¹·g⁻¹):

112,5 ÷ 30 = 3,75 emissões beta/(min·g).

Subpasso 4.3 — Comparar com a atividade de um ser vivo e achar o número de meias-vidas

Um organismo vivo emite, no máximo, A₀ = 15 emissões beta/(min·g). A razão entre a atividade atual do fóssil e a atividade inicial é:

A/A₀ = 3,75 ÷ 15 = 0,25 = 1/4

Como a atividade cai à metade a cada meia-vida transcorrida, (1/2)ⁿ = 1/4 → (1/2)ⁿ = (1/2)² → n = 2.

Ou seja, desde a morte do organismo já se passaram exatamente 2 meias-vidas completas.

Subpasso 4.4 — Converter meias-vidas em anos

Idade = n × T½ = 2 × 5 730 = 11 460 anos.

Subpasso 4.5 — Verificação

Confira o caminho inverso: se o fóssil tem 11 460 anos, isso equivale a 11 460 ÷ 5 730 = 2 meias-vidas. Após 2 meias-vidas, a atividade deveria valer 15 × (1/2)² = 15 × 1/4 = 3,75 emissões beta/(min·g) — exatamente o valor calculado no Subpasso 4.2. O resultado é consistente e corresponde à alternativa C (11 460).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 450.

❌ Incorreta: esse número é o resultado de dividir diretamente 6 750 (emissões/hora, total da amostra) por 15 (emissões/min·g, referência do ser vivo), sem realizar nenhuma das duas conversões necessárias (hora→minuto e total→por grama). O valor 450 é um quociente adimensional, sem qualquer significado físico de tempo; tratá-lo como resposta ignora completamente as unidades do problema.

B) 1 433.

❌ Incorreta: esse valor corresponde a 5 730 ÷ 4 ≈ 1 432,5 (arredondado para 1 433). É o erro clássico de inverter a lógica da meia-vida: como a atividade caiu para 1/4 do valor original, o estudante divide a própria meia-vida por 4, em vez de reconhecer que 1/4 = (1/2)² significa 2 meias-vidas e, então, multiplicar (não dividir) a meia-vida por esse número.

C) 11 460.

✅ Correta: é exatamente o resultado de reconhecer que a atividade específica do fóssil (3,75 emissões/(min·g)) equivale a 1/4 da atividade de um ser vivo (15 emissões/(min·g)) — ou seja, 2 meias-vidas se passaram — e multiplicar 2 × 5 730 anos = 11 460 anos.

D) 17 190.

❌ Incorreta: esse valor é 3 × 5 730. Surge quando o estudante converte corretamente de hora para minuto, mas esquece de dividir pela massa da amostra (30 g): ao comparar 112,5 emissões/min diretamente com 15 emissões/(min·g), obtém-se uma razão de 7,5, que fica entre 2² = 4 e 2³ = 8. Arredondando para a potência de 2 mais próxima (8), conclui-se erroneamente que se passaram 3 meias-vidas em vez de 2.

E) 27 000.

❌ Incorreta: esse número surge de um erro combinado de unidades — por exemplo, calcular a razão bruta 6 750 ÷ 15 = 450 (sem nenhuma conversão) e, na tentativa equivocada de "corrigir" a diferença entre hora e minuto, multiplicar por 60 em vez de dividir (450 × 60 = 27 000). O resultado mostra como inverter uma conversão de unidades pode inflar o valor final para muito além da resposta correta.

🏆 Gabarito: C — a atividade específica do fóssil (3,75 emissões beta/(min·g)) corresponde a 1/4 da atividade de um organismo vivo (15 emissões beta/(min·g)); como a cada meia-vida a atividade cai à metade, 1/4 = (1/2)² indica que se passaram 2 meias-vidas, logo a idade do fóssil é 2 × 5 730 = 11 460 anos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa C nasce de comparar corretamente as atividades na mesma unidade (emissões beta por minuto por grama) e de aplicar a relação exponencial correta entre razão de atividades e número de meias-vidas.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra datação por carbono-14 quase sempre no mesmo formato: fornece a atividade de um organismo vivo, a meia-vida do ¹⁴C (5 730 anos) e uma medição do fóssil em unidades "disfarçadas" (outra unidade de tempo, ou valor total em vez de específico), forçando o candidato a normalizar antes de comparar.
• Generalização: sempre que a atividade cair para uma fração do tipo (1/2)ⁿ do valor inicial, o tempo decorrido é simplesmente n × meia-vida; o desafio raramente está na matemática, e sim em garantir que as duas atividades comparadas estejam na mesma unidade.
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular, escreva as duas atividades na mesma unidade. Se a razão entre elas não for uma potência exata de 1/2 (1/2, 1/4, 1/8...), refaça a conversão — provavelmente esqueceu de dividir pela massa ou de converter hora em minuto. Isso já elimina de cara as alternativas geradas por conversões incompletas.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a outras questões de decaimento radioativo (datação de rochas por urânio-chumbo, cálculo de dose residual em medicina nuclear) e a problemas de crescimento/decrescimento exponencial em Biologia, como o cálculo da meia-vida de fármacos no organismo.