Questão 137 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos aplicados a Matemática Financeira (juros compostos, inequações exponenciais)
• ⚡ Nível: Difícil — exige transformar uma inequação exponencial em uma relação logarítmica e, principalmente, interpretar corretamente o arredondamento do valor de n.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas com função logarítmica em contexto financeiro (empréstimos e prestações) — Competência de Área 2 do ENEM (grandezas e suas relações, com uso de logaritmos).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o menor número inteiro de parcelas (n) que faz a prestação P ficar menor ou igual a R$ 400,00?"
• Palavras-chave decisivas: no máximo R$ 400,00, menor número de parcelas, não comprometem o limite
• Armadilha típica: encontrar o valor decimal de n (que dá algo entre 15 e 16) e arredondar para baixo, escolhendo 15 em vez de 16 — isso inverte o sentido da desigualdade, pois um n menor gera uma prestação maior, não menor.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a inequação P ≤ 400, isolar a variável que está no expoente usando logaritmos com os valores aproximados fornecidos, e arredondar corretamente para o menor inteiro que satisfaz a condição (ou seja, arredondar para cima).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Juros compostos e prestações (Sistema Price): a fórmula dada, P = 5000 × 1,013ⁿ × 0,013 / (1,013ⁿ − 1), é o modelo clássico de amortização: quanto maior o número de parcelas n, menor a prestação P.
• Inequação exponencial: para resolver P ≤ 400, isolamos 1,013ⁿ e chegamos a uma comparação do tipo 1,013ⁿ ≥ k, com a variável no expoente.
• Logaritmo como ferramenta de "descer" o expoente: aplicando log e usando log(aᵇ) = b·log(a), o expoente n vira fator multiplicativo, tornando a inequação linear e solucionável com os valores aproximados fornecidos.
• Propriedade do logaritmo do quociente: log(a/b) = log(a) − log(b), essencial para calcular log(400/335) a partir de log 400 e log 335, sem calculadora.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais" → define a restrição matemática P ≤ 400, aplicada diretamente na fórmula dada.
• Evidência 2: "utilize 0,005 para log 1,013; 2,602 para log 400; 2,525 para log 335" → sinaliza que a resolução exige logaritmos e que os números 400 e 335 vão aparecer na inequação — pista de que surgirá a razão 400/335.
• Evidência 3: "o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite" → pede o menor n inteiro que garante P ≤ 400, exigindo arredondar o resultado decimal para cima.
• Síntese: o caminho é substituir P por 400, transformar a fórmula em uma inequação com 1,013ⁿ isolado, aplicar logaritmo com os valores fornecidos (que entregam a razão 400/335) e interpretar corretamente o arredondamento.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a inequação com P ≤ 400

Partindo da fórmula fornecida na figura:

P = (5 000 × 1,013ⁿ × 0,013) / (1,013ⁿ − 1)

Para que a prestação não ultrapasse o limite de R$ 400,00, impomos P ≤ 400. Chamando x = 1,013ⁿ para simplificar a escrita:

(5 000 × 0,013 × x) / (x − 1) ≤ 400

Como 5 000 × 0,013 = 65, a inequação fica:

65x / (x − 1) ≤ 400

Subpasso 4.2 — Isolar 1,013ⁿ e aplicar logaritmo

Multiplicando os dois lados por (x − 1), que é positivo (pois x = 1,013ⁿ > 1 para n ≥ 1):

65x ≤ 400(x − 1)

65x ≤ 400x − 400

400 ≤ 400x − 65x

400 ≤ 335x

x ≥ 400/335

Substituindo x de volta por 1,013ⁿ:

1,013ⁿ ≥ 400/335

Aplicando log em ambos os lados (o log é crescente, então a desigualdade se mantém):

log(1,013ⁿ) ≥ log(400/335)

n · log 1,013 ≥ log 400 − log 335

Usando os valores aproximados dados no enunciado (log 1,013 ≈ 0,005; log 400 ≈ 2,602; log 335 ≈ 2,525):

n · 0,005 ≥ 2,602 − 2,525

n · 0,005 ≥ 0,077

n ≥ 0,077 / 0,005

n ≥ 15,4

Subpasso 4.3 — Verificação e arredondamento correto

O resultado n ≥ 15,4 significa que qualquer número de parcelas menor que 15,4 (por exemplo, n = 15) não satisfaz a condição P ≤ 400 — a prestação ainda ficaria acima do limite. Como n precisa ser um número inteiro de parcelas, o menor valor inteiro que atende n ≥ 15,4 é:

n = 16

Verificação de coerência: quanto maior o número de parcelas, menor a prestação mensal (a dívida é diluída em mais pagamentos). Logo, é esperado que o menor n que "cabe" no orçamento de R$ 400,00 seja um valor relativamente alto — 16 parcelas é consistente com essa lógica e corresponde exatamente à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 12

❌ Incorreta: 12 está bem abaixo de 15,4. Com apenas 12 parcelas, o valor 1,013¹² é pequeno demais, tornando o denominador (1,013ⁿ − 1) pequeno e a prestação P muito acima de R$ 400,00 — não atende ao limite financeiro da pessoa.

B) 14

❌ Incorreta: mesmo com 14 parcelas, ainda estamos abaixo do limiar n ≥ 15,4 encontrado na resolução. A prestação continuaria superior a R$ 400,00, violando a restrição do problema.

C) 15

❌ Incorreta: é a alternativa "armadilha" — resulta de arredondar 15,4 para baixo, um erro conceitual clássico. Como a inequação exige n ≥ 15,4, o valor n = 15 (que é menor que 15,4) não satisfaz a condição P ≤ 400; a prestação com 15 parcelas ainda ultrapassaria o teto de R$ 400,00, ainda que por uma margem pequena.

D) 16

✅ Correta: 16 é o menor número inteiro de parcelas que satisfaz n ≥ 15,4. É o primeiro valor inteiro a partir do qual a prestação mensal fica igual ou inferior a R$ 400,00, respeitando integralmente o limite de orçamento da pessoa.

E) 17

❌ Incorreta: embora 17 também satisfaça a condição P ≤ 400,00 (pois é maior que 15,4), não é o menor valor possível — a questão pede especificamente o menor número de parcelas, e esse é 16, não 17.

🏆 Gabarito: D — o menor número inteiro de parcelas que garante P ≤ 400,00 é 16, obtido ao resolver n ≥ 15,4 e arredondar para cima (nunca para baixo, já que arredondar para baixo violaria a restrição do problema).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como a inequação resolvida fornece n ≥ 15,4 e n representa uma quantidade inteira de parcelas, apenas valores inteiros a partir de 16 satisfazem a restrição; entre esses, 16 é o menor, tornando D a única resposta compatível com o enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra logaritmos como ferramenta para "trazer o expoente para baixo" em contextos de juros compostos, crescimento populacional ou decaimento radioativo, sempre fornecendo valores aproximados de log para dispensar calculadora.
• Generalização: sempre que uma variável estiver no expoente dentro de uma inequação, isole a potência de base fixa em um dos lados, aplique logaritmo (mantendo o sentido, pois log é crescente) e use log(a/b) = log(a) − log(b) e log(aⁿ) = n·log(a) para linearizar a expressão.
• Dica de eliminação rápida: ao obter um resultado decimal para n (aqui, 15,4), pergunte "a grandeza cresce ou decresce com n?". Como a prestação diminui quando n aumenta, o n que resolve "P ≤ 400" exige arredondar para cima — isso elimina de imediato 15 e tudo abaixo, e também qualquer valor maior que o imediatamente superior (17), restando apenas 16.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em meia-vida radioativa e capitalização composta (Montante = Capital × (1+i)ⁿ), sempre resolvidas isolando a potência e aplicando logaritmo com valores aproximados fornecidos no enunciado.