Questão 179 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade condicional e Teorema da Probabilidade Total
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo é curto, mas exige perceber que existem DOIS caminhos para o atraso e ponderar cada um pela probabilidade do cenário
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade total via árvore de possibilidades (eventos condicionados a cenários mutuamente exclusivos)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Considerando que há 30% de chance de chover e que a chance de atraso muda conforme chova ou não, qual é a probabilidade TOTAL de o morador se atrasar naquele dia?"
• Palavras-chave decisivas: 50% quando chove, caso não chova, 25%, 30% a probabilidade da ocorrência de chuva, probabilidade de esse morador se atrasar
• Armadilha típica: calcular apenas o ramo da chuva (0,30 × 0,50 = 0,15) e parar por aí, esquecendo que o morador também pode se atrasar em dia seco. O atraso não depende de chover — ele apenas fica mais provável quando chove.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato identifica os dois cenários exclusivos (chove / não chove), calcula a probabilidade de atraso em cada um e soma as duas contribuições, cada uma ponderada pela chance do respectivo cenário.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade condicional: P(atraso | chuva) = 0,50 significa "dado que choveu, a chance de atraso é 50%". Esse número só vale dentro do cenário de chuva — ele ainda precisa ser multiplicado pela probabilidade de a chuva ocorrer.
• Eventos complementares: se P(chuva) = 30% = 0,30, então P(não chuva) = 1 − 0,30 = 0,70. Os dois cenários cobrem todas as possibilidades e não se sobrepõem.
• Teorema da Probabilidade Total: quando um evento pode ocorrer por caminhos exclusivos, sua probabilidade é a soma dos produtos ao longo de cada caminho:

P(atraso) = P(chuva) · P(atraso | chuva) + P(não chuva) · P(atraso | não chuva)

• Propriedade de controle: o resultado é uma média ponderada entre 0,25 e 0,50. Logo, a resposta correta é obrigatoriamente um número entre 0,25 e 0,50 — nem menor, nem maior. Guarde isso: é o cheque de sanidade que resolve a questão sozinho.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove" → P(atraso | chuva) = 0,50. Probabilidade condicional, válida só nos dias de chuva.
• Evidência 2: "caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%" → P(atraso | não chuva) = 0,25. Este é o ramo que a maioria esquece — mesmo sem chuva, o atraso continua possível.
• Evidência 3: "o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrência de chuva nessa região" → P(chuva) = 0,30 e, por complemento, P(não chuva) = 0,70. São os pesos de cada ramo da árvore.
• Síntese: monta-se uma árvore com dois galhos (chove / não chove); cada galho leva a um atraso com probabilidade própria. A probabilidade total de atraso é a soma dos dois caminhos que terminam em "atraso".

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a árvore de probabilidades

```

┌── atrasa (0,50) → 0,30 × 0,50 = 0,150

chove (0,30) ────┤

└── não atrasa (0,50)

┌── atrasa (0,25) → 0,70 × 0,25 = 0,175

não chove (0,70) ───┤

└── não atrasa (0,75)

```

Subpasso 4.2 — Calcular cada caminho que termina em atraso

Caminho 1 — chove E atrasa:

P = P(chuva) × P(atraso | chuva) = 0,30 × 0,50 = 0,150

Caminho 2 — não chove E atrasa:

P = P(não chuva) × P(atraso | não chuva) = 0,70 × 0,25 = 0,175

Repare num detalhe contraintuitivo e importante: o segundo caminho é mais provável que o primeiro (0,175 > 0,150). Embora o atraso seja individualmente mais provável em dia de chuva, os dias sem chuva são muito mais frequentes (70% contra 30%) — e essa frequência maior mais que compensa a chance individual menor.

Subpasso 4.3 — Verificação

Somando os dois caminhos (eles são mutuamente exclusivos: ou chove, ou não chove):

P(atraso) = 0,150 + 0,175 = 0,325

Teste de sanidade: 0,325 é uma média ponderada entre 0,25 e 0,50, com pesos 0,70 e 0,30. Como esperado, ela cai dentro do intervalo [0,25 ; 0,50] e, por causa do peso maior do dia sem chuva, fica mais perto de 0,25 do que de 0,50. Coerente.

O valor 0,325 corresponde à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 0,075

❌ Incorreta: é o produto 0,30 × 0,25 — ou seja, multiplica a probabilidade de chuva pela probabilidade de atraso em dia sem chuva. Cruza os dados de cenários diferentes, o que não corresponde a nenhum caminho real da árvore. Além disso, 0,075 é menor que 0,25, quando o mínimo teórico da resposta é justamente 0,25 (o pior caso seria nunca chover).

B) 0,150

❌ Incorreta: corresponde apenas ao ramo da chuva (0,30 × 0,50 = 0,15). O erro conceitual é abandonar o cenário sem chuva, como se o morador só pudesse se atrasar em dia chuvoso. O enunciado é explícito: mesmo sem chuva, existe 25% de chance de atraso — e esse ramo contribui com outros 0,175.

C) 0,325

✅ Correta: aplica o Teorema da Probabilidade Total somando os dois caminhos que levam ao atraso: (0,30 × 0,50) + (0,70 × 0,25) = 0,150 + 0,175 = 0,325. É o único valor situado entre 0,25 e 0,50, como toda média ponderada dessas duas probabilidades condicionais tem de ser.

D) 0,600

❌ Incorreta: é maior que 0,50, a maior das duas probabilidades condicionais — matematicamente impossível para uma média ponderada de 0,25 e 0,50. Surge de somar probabilidades sem ponderá-las pelos cenários (por exemplo, 0,50 × 0,70 + 0,25 = 0,35 + 0,25 = 0,60), misturando um valor ponderado com outro não ponderado.

E) 0,800

❌ Incorreta: vem de somar a probabilidade de chuva com a de atraso (0,30 + 0,50 = 0,80), operação que não tem sentido probabilístico algum — são probabilidades de eventos de naturezas diferentes, e uma delas é condicional. Como em D, o valor supera 0,50 e por isso já é impossível de saída.

🏆 Gabarito: C — pelo Teorema da Probabilidade Total, P(atraso) = 0,30 × 0,50 + 0,70 × 0,25 = 0,150 + 0,175 = 0,325.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa que soma os DOIS caminhos possíveis de atraso, cada um ponderado pela chance do seu cenário. B considera só metade da árvore; A cruza dados errados; D e E produzem valores matematicamente impossíveis.
• Padrão de cobrança: probabilidade total é presença garantida no ENEM, quase sempre em contextos do cotidiano (chuva e atraso, exames médicos, defeitos em linhas de produção, urnas com bolas). A frase-chave é sempre condicional: "se ocorrer A, a chance de B é..." seguida de "caso contrário, é...".
• Generalização: quando um evento pode acontecer por caminhos exclusivos, multiplique ao longo de cada caminho e some os caminhos. Fórmula: P(B) = P(A₁)·P(B|A₁) + P(A₂)·P(B|A₂) + ...
• Dica de eliminação rápida: a resposta é uma média ponderada de 0,25 e 0,50 — portanto tem de estar entre esses dois valores. Isso elimina A (0,075), B (0,150), D (0,600) e E (0,800) sem fazer uma única multiplicação. Sobra C, e você acerta em 15 segundos.
• Conexões: árvore de probabilidades, eventos independentes e dependentes, Teorema de Bayes (a "volta" desta questão seria: sabendo que o morador se atrasou, qual a chance de ter chovido?).